x^2+3x+9/x^3+27=1/x+3+2/x^2-3x+9
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{x^2 + 3x + 9}{x^3 + 27} = \frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 9} \]
Для начала упрощаем обе стороны уравнения.
Шаг 1: Упрощение левой части
Левая часть у нас:
\[ \frac{x^2 + 3x + 9}{x^3 + 27} \]
Поскольку \(x^3 + 27\) можно представить как сумму кубов, мы можем разложить это выражение:
\[ x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \]
Таким образом, левая часть будет:
\[ \frac{x^2 + 3x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \]
Шаг 2: Упрощение правой части
Теперь смотрим на правую часть уравнения:
\[ \frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 9} \]
Для сложения дробей нужно найти общий знаменатель, который будет \( (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \).
Приведем обе дроби к общему знаменателю:
- Для первой дроби:
\[ \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x^2 - 3x + 9}{x^2 - 3x + 9} = \frac{x^2 - 3x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \]
- Для второй дроби:
\[ \frac{2}{x^2 - 3x + 9} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} = \frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{2x + 6}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \]
Теперь объединяем:
\[ \frac{x^2 - 3x + 9 + 2x + 6}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x^2 - x + 15}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \]
Шаг 3: Сравнение обеих сторон
Теперь у нас есть:
\[ \frac{x^2 + 3x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x^2 - x + 15}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \]
Поскольку знаменатели одинаковые, приравниваем числители:
\[ x^2 + 3x + 9 = x^2 - x + 15 \]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Упрощаем уравнение, убирая \(x^2\):
\[ 3x + 9 = -x + 15 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ 3x + x + 9 - 15 = 0 \]
Это дает:
\[ 4x - 6 = 0 \]
Шаг 5: Решение
Теперь решим уравнение:
\[ 4x = 6 \implies x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
Итог
Таким образом, ответ к уравнению:
\[ x = \frac{3}{2} \]
Если есть какие-то вопросы по этому решению, не стесняйтесь их задавать!
