X^2+3x+9/x^3+27=1/x+3+2/x^2-3x+9

Давайте решим уравнение: \[ \frac{x^2 + 3x + 9}{x^3 + 27} = \frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 9} \] Для начала упрощаем обе стороны уравнения. ### Шаг 1: Упрощение левой части Левая часть у нас: \[ \frac{x^2 + 3x + 9}{x^3 + 27} \] Поскольку \(x^3 + 27\) можно представить как сумму кубов, мы можем разложить это выражение: \[ x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \] Таким образом, левая часть будет: \[ \frac{x^2 + 3x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \] ### Шаг 2: Упрощение правой части Теперь смотрим на правую часть уравнения: \[ \frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 9} \] Для сложения дробей нужно найти общий знаменатель, который будет \( (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \). Приведем обе дроби к общему знаменателю: 1. Для первой дроби: \[ \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x^2 - 3x + 9}{x^2 - 3x + 9} = \frac{x^2 - 3x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \] 2. Для второй дроби: \[ \frac{2}{x^2 - 3x + 9} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} = \frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{2x + 6}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \] Теперь объединяем: \[ \frac{x^2 - 3x + 9 + 2x + 6}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x^2 - x + 15}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \] ### Шаг 3: Сравнение обеих сторон Теперь у нас есть: \[ \frac{x^2 + 3x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x^2 - x + 15}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \] Поскольку знаменатели одинаковые, приравниваем числители: \[ x^2 + 3x + 9 = x^2 - x + 15 \] ### Шаг 4: Упрощение уравнения Упрощаем уравнение, убирая \(x^2\): \[ 3x + 9 = -x + 15 \] Переносим все на одну сторону: \[ 3x + x + 9 - 15 = 0 \] Это дает: \[ 4x - 6 = 0 \] ### Шаг 5: Решение Теперь решим уравнение: \[ 4x = 6 \implies x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] ### Итог Таким образом, ответ к уравнению: \[ x = \frac{3}{2} \] Если есть какие-то вопросы по этому решению, не стесняйтесь их задавать!