Докажи неравенство: а2+б2-16а+14б+114>0

Чтобы доказать неравенство \(a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0\), можно попробовать преобразовать его с помощью метода выделения полного квадрата. 1. **Выделим полный квадрат по переменной \(a\):** \[ a^2 - 16a = (a - 8)^2 - 64 \] 2. **Выделим полный квадрат по переменной \(b\):** \[ b^2 + 14b = (b + 7)^2 - 49 \] 3. **Подставим преобразования в исходное выражение:** \[ (a - 8)^2 - 64 + (b + 7)^2 - 49 + 114 \] 4. **Упростим выражение:** \[ (a - 8)^2 + (b + 7)^2 - 64 - 49 + 114 = (a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 \] 5. **Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то:** \((a - 8)^2 \geq 0\) \((b + 7)^2 \geq 0\) Таким образом, \[ (a - 8)^2 + (b + 7)^2 \geq 0 \] 6. **Следовательно,** \[ (a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0 \] так как добавление 1 делает выражение заведомо положительным. Это доказывает, что изначальное неравенство верно для любых действительных значений \(a\) и \(b\).