Найлите частное - для геометрической прогрессии, у q которой сумма первого и третьего членов равна 40, а сумма второго и четвертого равна 80.

Для решения задачи необходимо найти знаменатель \( q \) геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как \( a \). Тогда члены геометрической прогрессии будут:

1. Первый член: \( a \)
2. Второй член: \( aq \)
3. Третий член: \( aq^2 \)
4. Четвёртый член: \( aq^3 \)

Исходя из условия задачи, имеем два уравнения:

1. \( a + aq^2 = 40 \)
2. \( aq + aq^3 = 80 \)

Упростим каждое из этих уравнений:

1. \( a(1 + q^2) = 40 \)
2. \( aq(1 + q^2) = 80 \)

Из второго уравнения выразим \( a \):

\[ a = \frac{80}{q(1 + q^2)} \]

Подставим \( a \) из второго уравнения в первое:

\[ \frac{80}{q(1 + q^2)} (1 + q^2) = 40 \]

Сократим \( 1 + q^2 \):

\[ \frac{80}{q} = 40 \]

Отсюда находим \( q \):

\[ q = 2 \]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии \( q \) равен \( 2 \).