y=x²-x-20
Чтобы решить уравнение \( y = x^2 - x - 20 \) и понять его свойства, давайте разберем его пошагово.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
У нас есть квадратичная функция, где \( y \) - это значение функции, а \( x \) - переменная. Уравнение имеет стандартный вид:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где:
- \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
- \( b = -1 \) (коэффициент при \( x \)),
- \( c = -20 \) (свободный член).
Шаг 2: Найдем корни уравнения
Чтобы найти корни уравнения, используем формулу дискриминанта. Дискриминант \( D \) для квадратичного уравнения может быть вычислен по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим сюда наши значения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \]
Поскольку дискриминант положителен (\( D > 0 \)), у нас будет два различных корня.
Шаг 3: Находим корни уравнения
Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 9}{2} \]
Теперь найдем корни:
- \( x_1 = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x_2 = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
Таким образом, корни уравнения \( y = 0 \) находятся в точках \( x = 5 \) и \( x = -4 \).
Шаг 4: Определяем вершину параболы
Так как коэффициент \( a \) положительный, это означает, что график параболы открывается вверх. Вершина параболы находится по формуле:
\[ x_{ver} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим \( b \) и \( a \):
\[ x_{ver} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим это значение в исходное уравнение, чтобы найти координату \( y \) вершины:
\[ y_{ver} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right) - 20 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - 20 = -\frac{1}{4} - 20 = -20.25 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(\frac{1}{2}, -20.25\right) \).
Шаг 5: Построение графика
Теперь вы можете построить график функции:
- Отметьте корни: \( (5, 0) \) и \( (-4, 0) \).
- Отметьте вершину: \( \left(\frac{1}{2}, -20.25\right) \).
- Точки \( (-4, 0) \) и \( (5, 0) \) будут на оси \( X \), а вершина будет находиться ниже этой оси, что показывает, что парабола открыта вверх.
Итог
Таким образом, мы рассмотрели уравнение \( y = x^2 - x - 20 \), нашли его корни, вершину и свойства графика функции. Если у вас есть вопросы по каким-либо этапам, не стесняйтесь задавать их!
