Чтобы решить задачу, давайте обозначим два натуральных числа как ( x ) и ( y ).
По условию задачи у нас есть следующие два уравнения:
Разность двух чисел равна 8:
[
x - y = 8
]
Сумма квадратов этих чисел равна 482:
[
x^2 + y^2 = 482
]
Теперь давайте выразим одно из чисел через другое из первого уравнения. Пусть:
[
x = y + 8
]
Теперь подставим это выражение для ( x ) во второе уравнение:
[
(y + 8)^2 + y^2 = 482
]
Теперь раскроем первую скобку:
[
(y^2 + 16y + 64) + y^2 = 482
]
Соберем все слагаемые:
[
2y^2 + 16y + 64 = 482
]
Теперь упростим уравнение, вычитая 482 из обеих сторон:
[
2y^2 + 16y + 64 - 482 = 0
]
[
2y^2 + 16y - 418 = 0
]
Теперь можно разделить все слагаемые на 2 для упрощения:
[
y^2 + 8y - 209 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 8 ), ( c = -209 ):
[
D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900
]
Теперь находим корни уравнения, используя формулу:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим найденные значения:
[
y = \frac{-8 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{-8 \pm 30}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения:
- ( y = \frac{22}{2} = 11 )
- ( y = \frac{-38}{2} = -19 ) (это отрицательное число, и нас интересуют только натуральные числа)
Таким образом, ( y = 11 ).
Теперь подставим значение ( y ) обратно в уравнение для ( x ):
[
x = y + 8 = 11 + 8 = 19
]
Итак, мы нашли два натуральных числа:
[
x = 19, \quad y = 11
]
Ответ: числа — 19 и 11.
