разность двух натуральных чисел равна 8 а сумма их квадратов равна 482 найди эти числа
Чтобы решить задачу, давайте обозначим два натуральных числа как \( x \) и \( y \).
По условию задачи у нас есть следующие два уравнения:
Разность двух чисел равна 8: \[ x - y = 8 \]
Сумма квадратов этих чисел равна 482: \[ x^2 + y^2 = 482 \]
Теперь давайте выразим одно из чисел через другое из первого уравнения. Пусть: \[ x = y + 8 \]
Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение: \[ (y + 8)^2 + y^2 = 482 \]
Теперь раскроем первую скобку: \[ (y^2 + 16y + 64) + y^2 = 482 \]
Соберем все слагаемые: \[ 2y^2 + 16y + 64 = 482 \]
Теперь упростим уравнение, вычитая 482 из обеих сторон: \[ 2y^2 + 16y + 64 - 482 = 0 \] \[ 2y^2 + 16y - 418 = 0 \]
Теперь можно разделить все слагаемые на 2 для упрощения: \[ y^2 + 8y - 209 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( c = -209 \): \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900 \]
Теперь находим корни уравнения, используя формулу: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим найденные значения: \[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-8 \pm 30}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения:
- \( y = \frac{22}{2} = 11 \)
- \( y = \frac{-38}{2} = -19 \) (это отрицательное число, и нас интересуют только натуральные числа)
Таким образом, \( y = 11 \).
Теперь подставим значение \( y \) обратно в уравнение для \( x \): \[ x = y + 8 = 11 + 8 = 19 \]
Итак, мы нашли два натуральных числа: \[ x = 19, \quad y = 11 \]
Ответ: числа — 19 и 11.
