Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, угол A равен 30 градусов, и сторона BC равна 4 см. Мы хотим найти длину стороны AB.
Шаг 1: Изучим свойства треугольника
В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60° и 90° существует известное соотношение между сторонами:
- Сторона, противоположная углу 30° (это сторона AC) равна половине гипотенузы (стороны AB).
- Сторона, противоположная углу 60° (это сторона BC) равна гипотенузе, умноженной на (\sqrt{3}/2).
Шаг 2: Определим стороны треугольника
- У нас есть ( \angle A = 30^\circ ).
- Поэтому сторона AC (противоположная углу A) будет равна половине гипотенузы AB. То есть:
[
AC = \frac{1}{2} AB
]
- Сторона BC (противоположная углу B, 60°) равна:
[
BC = \frac{\sqrt{3}}{2} AB
]
Шаг 3: Подставим известные значения
У нас уже есть информация о длине стороны BC:
[
BC = 4 \text{ см}
]
Это значит:
[
4 = \frac{\sqrt{3}}{2} AB
]
Чтобы найти длину AB, умножим обе стороны уравнения на 2:
[
8 = \sqrt{3} \cdot AB
]
Шаг 4: Решим уравнение для AB
Теперь разделим обе стороны на (\sqrt{3}):
[
AB = \frac{8}{\sqrt{3}}
]
Шаг 5: Упростим
Для более удобного представления часто рационализируют знаменатель:
[
AB = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{3}
]
Ответ
Таким образом, длина стороны AB (гипотенуза) равна (\frac{8 \sqrt{3}}{3}) см, или приблизительно 4.62 см, если округлить.
Теперь вы понимаете, как использовать свойства прямоугольных треугольников для нахождения неизвестных сторон!
