В предложении «И весь день не хочется уходить со двора!» грамматическую основу составляют подлежащее и сказуемое.
Подлежащее здесь не выражено явно, но подразумевается, так как по контексту мы понимаем, о ком или о чём говорится. В данном случае можно считать, что имеется в виду "Я" или "мы".
Сказуемое — "не хочется уходить", где "хочется" является непосредственным сказуемым, а "уходить" — инфинитив, который уточняет, чего хочется.
Таким образом, грамматическая основа: «хочется» (сказуемое) и подразумеваемое "я" или "мы" (подлежащее).