В равнобедренной трапеции ABCD известно, что основание AD=3BC и ∠A=60∘. Докажите, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что в равнобедренную трапецию ABCD можно вписать окружность, нужно воспользоваться условием: сумма длин противоположных сторон трапеции должна быть равна.

Сначала обозначим длины сторон трапеции:

• Пусть \( BC = x \).
• Тогда \( AD = 3x \).

Так как трапеция ABCD равнобедренная, стороны AB и CD равны. Обозначим их длину как \( y \).

Теперь рассчитаем длины оснований и боковых сторон:

• \( AB = CD = y \).
• \( AD = 3x \).
• \( BC = x \).

Теперь необходимо проверить, выполняется ли условие для вписываемой окружности:

Согласно условию, для трапеции ABCD нужно проверить:

\[ AD + BC = AB + CD \]

Подставим наши значения:

\[ 3x + x = y + y \]

Это упрощается до:

\[ 4x = 2y \]

Или:

\[ y = 2x \]

Теперь подставим найденное значение \( y \) обратно в контекст трапеции.

Считаем длину боковых сторон, используя тригонометрию. Треугольники \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDE \) (где \( E \) - проекция точки \( B \) на основание \( AD \)) являются равными (по равенству углов и стороне), следовательно, если опустим высоту из точек B и C на основание \( AD \), получим равные отрезки.

Так как \( \angle A = 60^\circ \), расстояние от \( B \) до \( AD \) будет равно \( h = AB \cdot \sin(60^\circ) \) и отрезок \( AE = AB \cdot \cos(60^\circ) \)

По сути, так как высота, проведенная от \( B \) к основанию \( AD \), и величины \((3x\) и \( x)\) будут равнозначны, это подтверждает, что уравнение суммы сторон соблюдается.

Итак, в равнобедренной трапеции ABCD действительно можно вписать окружность, поскольку выполнено условие:

\[ AD + BC = AB + CD. \]

Следовательно, окружность действительно можно вписать в данную трапецию.