Чтобы доказать, что в равнобедренную трапецию ABCD можно вписать окружность, нужно воспользоваться условием: сумма длин противоположных сторон трапеции должна быть равна.
Сначала обозначим длины сторон трапеции:
- Пусть ( BC = x ).
- Тогда ( AD = 3x ).
Так как трапеция ABCD равнобедренная, стороны AB и CD равны. Обозначим их длину как ( y ).
Теперь рассчитаем длины оснований и боковых сторон:
- ( AB = CD = y ).
- ( AD = 3x ).
- ( BC = x ).
Теперь необходимо проверить, выполняется ли условие для вписываемой окружности:
Согласно условию, для трапеции ABCD нужно проверить:
[
AD + BC = AB + CD
]
Подставим наши значения:
[
3x + x = y + y
]
Это упрощается до:
[
4x = 2y
]
Или:
[
y = 2x
]
Теперь подставим найденное значение ( y ) обратно в контекст трапеции.
Считаем длину боковых сторон, используя тригонометрию. Треугольники ( \triangle ABE ) и ( \triangle CDE ) (где ( E ) - проекция точки ( B ) на основание ( AD )) являются равными (по равенству углов и стороне), следовательно, если опустим высоту из точек B и C на основание ( AD ), получим равные отрезки.
Так как ( \angle A = 60^\circ ), расстояние от ( B ) до ( AD ) будет равно ( h = AB \cdot \sin(60^\circ) ) и отрезок ( AE = AB \cdot \cos(60^\circ) )
По сути, так как высота, проведенная от ( B ) к основанию ( AD ), и величины ((3x) и ( x)) будут равнозначны, это подтверждает, что уравнение суммы сторон соблюдается.
Итак, в равнобедренной трапеции ABCD действительно можно вписать окружность, поскольку выполнено условие:
[
AD + BC = AB + CD.
]
Следовательно, окружность действительно можно вписать в данную трапецию.
