x²-10x+16>0

Для решения неравенства \(x^2 - 10x + 16 > 0\) выполним следующие шаги.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение: \[ x^2 - 10x + 16 = 0 \]

Чтобы найти корни, можем использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае:

• \(a = 1\)
• \(b = -10\)
• \(c = 16\)

Подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm 6}{2} \]

У нас есть два корня: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 10x + 16 = 0\) — это \(x = 2\) и \(x = 8\).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь, когда мы знаем корни, можем разбить числовую ось на три интервала:

1. \( (-\infty, 2) \)
2. \( (2, 8) \)
3. \( (8, +\infty) \)

Шаг 3: Выбранные значения для теста

Теперь проверим знак выражения \(x^2 - 10x + 16\) в каждом из интервалов, подставляя тестовые значения.

1. Интервал \( (-\infty, 2) \):

   • Выберем \(x = 0\): \[ 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 = 16 > 0 \] (Знак положительный)

2. Интервал \( (2, 8) \):

   • Выберем \(x = 5\): \[ 5^2 - 10 \cdot 5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9 < 0 \] (Знак отрицательный)

3. Интервал \( (8, +\infty) \):

   • Выберем \(x = 9\): \[ 9^2 - 10 \cdot 9 + 16 = 81 - 90 + 16 = 7 > 0 \] (Знак положительный)

Шаг 4: Запишем результат

Теперь мы можем записать, где неравенство \(x^2 - 10x + 16 > 0\) выполняется:

• В интервале \( (-\infty, 2) \): положительно
• В интервале \( (2, 8) \): отрицательно
• В интервале \( (8, +\infty) \): положительно

Ответ

Таким образом, решения неравенства \(x^2 - 10x + 16 > 0\) записывается в виде интервалов: \[ x \in (-\infty, 2) \cup (8, +\infty) \]

Это решение говорит нам, что функции больше нуля, если \(x\) меньше 2 или больше 8.