X²-10x+16>0

Для решения неравенства \(x^2 - 10x + 16 > 0\) выполним следующие шаги. ### Шаг 1: Найдем корни уравнения Сначала решим соответствующее квадратное уравнение: \[ x^2 - 10x + 16 = 0 \] Чтобы найти корни, можем использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае: - \(a = 1\) - \(b = -10\) - \(c = 16\) Подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm 6}{2} \] У нас есть два корня: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{4}{2} = 2 \] Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 10x + 16 = 0\) — это \(x = 2\) и \(x = 8\). ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь, когда мы знаем корни, можем разбить числовую ось на три интервала: 1. \( (-\infty, 2) \) 2. \( (2, 8) \) 3. \( (8, +\infty) \) ### Шаг 3: Выбранные значения для теста Теперь проверим знак выражения \(x^2 - 10x + 16\) в каждом из интервалов, подставляя тестовые значения. 1. **Интервал \( (-\infty, 2) \)**: - Выберем \(x = 0\): \[ 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 = 16 > 0 \] (Знак положительный) 2. **Интервал \( (2, 8) \)**: - Выберем \(x = 5\): \[ 5^2 - 10 \cdot 5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9 < 0 \] (Знак отрицательный) 3. **Интервал \( (8, +\infty) \)**: - Выберем \(x = 9\): \[ 9^2 - 10 \cdot 9 + 16 = 81 - 90 + 16 = 7 > 0 \] (Знак положительный) ### Шаг 4: Запишем результат Теперь мы можем записать, где неравенство \(x^2 - 10x + 16 > 0\) выполняется: - В интервале \( (-\infty, 2) \): положительно - В интервале \( (2, 8) \): отрицательно - В интервале \( (8, +\infty) \): положительно ### Ответ Таким образом, решения неравенства \(x^2 - 10x + 16 > 0\) записывается в виде интервалов: \[ x \in (-\infty, 2) \cup (8, +\infty) \] Это решение говорит нам, что функции больше нуля, если \(x\) меньше 2 или больше 8.