√6-x=x
Чтобы решить уравнение \(\sqrt{6 - x} = x\), следуем пошагово:
Шаг 1: Избавление от квадратного корня
Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат. Это поможет нам избавиться от квадратного корня:
\[ (\sqrt{6 - x})^2 = x^2 \]
Получаем:
\[ 6 - x = x^2 \]
Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону
Теперь переносим все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Решим полученное квадратное уравнение. Для этого можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = 1\) и \(c = -6\).
Шаг 4: Подставляем значения в формулу
Вычислим дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
Шаг 5: Находим корни
Решая, получаем два значения:
- \(\frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
- \(\frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Таким образом, мы нашли два возможных решения: \(x = 2\) и \(x = -3\).
Шаг 6: Проверка корней
Важно проверить, подходят ли найденные значения для исходного уравнения, так как мы возводили в квадрат.
Проверим \(x = 2\): \[ \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2 \] Верно.
Проверим \(x = -3\): \[ \sqrt{6 - (-3)} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3 \] Но \(x = -3\), не подходит, так как \(3 \neq -3\).
Вывод
Таким образом, единственным решением уравнения \(\sqrt{6 - x} = x\) является:
\[ \boxed{2} \]
