Вариант II 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10. боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. 2. Найдите площадь…

Давайте разберем каждую из задач по очереди.

Задача 1:

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Правильная шестиугольная пирамида состоит из основания в форме правильного шестиугольника и шести боковых треугольников.

1. Найдём высоту бокового треугольника: Каждое боковое ребро образует равносторонний треугольник с одной стороной шеиугольника (основание). Чтобы найти высоту этого треугольника, используем теорему Пифагора.

   Обозначим:

   • \( a = 10 \) (длина стороны основания);
   • \( b = 13 \) (длина бокового ребра);
   • \( h \) (высота бокового треугольника).

   Высота \( h \) может быть найдена по формуле: \[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] Подставим числа: \[ h = \sqrt{13^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12. \]

2. Найдём площадь одного бокового треугольника: Площадь треугольника \( S \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60. \]

3. Площадь боковой поверхности всей пирамиды: Поскольку таких треугольников 6, общая площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = 6 \cdot S = 6 \cdot 60 = 360. \]

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды составляет 360 квадратных единиц.

Задача 2:

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 20 и высота равна 24.

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание.

1. Найдём площадь основания: Площадь квадратного основания \( S_{осн} \) равна: \[ S_{осн} = a^2 = 20^2 = 400. \]

2. Найдём сторону бокового треугольника: Половина стороны основания (который образует треугольники) составляет \( \frac{20}{2} = 10 \).

3. Найдём высоту бокового треугольника: Высота бокового треугольника может быть найдена, используя теорему Пифагора. Обозначим:

   • \( h_{\text{бок}} \) — высота бокового треугольника.

   Находим: \[ h_{\text{бок}} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26. \]

4. Площадь одного бокового треугольника: Площадь одного бокового треугольника \( S_{\text{бок}} \): \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 26 = 260. \]

5. Найдём общую площадь боковой поверхности: Поскольку таких треугольников 4: \[ S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{бок}} = 4 \cdot 260 = 1040. \]

6. Общая площадь поверхности пирамиды: \[ S_{\text{пов}} = S_{осн} + S_{\text{бок}} = 400 + 1040 = 1440. \]

Ответ: Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 1440 квадратных единиц.

Задача 3:

В правильной треугольной пирамиде РАВС, Р - вершина, М - середина ребраВС, АВ=6, а площадь боковой поверхности равна 126. Найдите длину отрезка РМ.

1. Находим длину стороны основания: Обозначим \( AB = a = 6 \) и \( h \) — высота бокового треугольника.

2. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности пирамиды составляют три боковых треугольника. Площадь одного треугольника будет: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{3} \cdot 126 = 42. \]

3. Найдём высоту бокового треугольника: Высота одного бокового треугольника \( h_{\text{бок}} \) можно найти по формуле: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{бок}} \implies 42 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{бок}} \implies h_{\text{бок}} = \frac{42 \cdot 2}{a} = \frac{84}{6} = 14. \]

4. Используем теорему Пифагора, чтобы найти PM: М — середина отрезка ВС. Найдём высоту PM. В треугольнике RPM: Обозначим \( PM = h_{P} \). Тогда: \[ h_{P}^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = h_{\text{бок}}^2. \]

   М — середина, и длина отрезка от вершины до М: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}. \]

   Теперь подставим: \[ h_{P}^2 + (2\sqrt{3})^2 = 14^2 \implies h_{P}^2 + 12 = 196 \implies h_{P}^2 = 184 \implies h_{P} = \sqrt{184} = 4\sqrt{11}. \]

Ответ: Длина отрезка \( PM \) составляет \( 4\sqrt{11} \) единиц.