5. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см. Высота пирамиды равна 7см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 6. В правильной треугольной усеченной пирамиде…

Задача 5: Площадь боковой поверхности пирамиды

Дано:

• Основание пирамиды — квадрат со стороной \( a = 6 \) см.
• Высота пирамиды \( h = 7 \) см.

Шаг 1: Найдем величину апофемы.

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нам нужно знать апофему (наклонное ребро) боковой грани. Апофема \( l \) пирамиды может быть найдена через высоту и половину стороны основания. Сначала найдем половину стороны основания: \[ \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см.} \]

Затем применим теорему Пифагора, чтобы найти апофему \( l \): \[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \text{ см.} \]

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность квадратной пирамиды состоит из 4 треугольников, каждый из которых имеет основание \( a \) и высоту \( l \). Площадь одного треугольника: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{58}. \]

Площадь всей боковой поверхности: \[ S_{\text{боковая}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{58}\right) = 12 \cdot \sqrt{58} \text{ см}^2. \]

Задача 6: Площадь полной поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды

Дано:

• Длина стороны верхнего основания \( a_1 = 8 \) см.
• Длина стороны нижнего основания \( a_2 = 22 \) см.
• Высота \( h = 14 \) см.

Шаг 1: Найдем площади оснований.

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]

Площадь верхнего основания \( S_1 \): \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

Площадь нижнего основания \( S_2 \): \[ S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 22^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 484 = 121\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

Шаг 2: Найдем боковую поверхность.

Для боковой поверхности усеченной пирамиды нам нужно знать периметры оснований:

• Периметр верхнего основания \( P_1 = 3 \cdot 8 = 24 \) см.
• Периметр нижнего основания \( P_2 = 3 \cdot 22 = 66 \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{\text{боковая}} \) можно найти по формуле: \[ S_{\text{боковая}} = \frac{(P_1 + P_2) \cdot h}{2}. \] Подставим значения: \[ S_{\text{боковая}} = \frac{(24 + 66) \cdot 14}{2} = \frac{90 \cdot 14}{2} = 630 \text{ см}^2. \]

Шаг 3: Найдем полную поверхность.

Полная площадь поверхности \( S_{\text{полная}} \): \[ S_{\text{полная}} = S_1 + S_2 + S_{\text{боковая}} = 16\sqrt{3} + 121\sqrt{3} + 630 = 137\sqrt{3} + 630 \text{ см}^2. \]

Ответы:

1. Площадь боковой поверхности пирамиды: \( 12\sqrt{58} \) см².
2. Полная площадь поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды: \( 137\sqrt{3} + 630 \) см².