Задача 5: Площадь боковой поверхности пирамиды
Дано:
- Основание пирамиды — квадрат со стороной ( a = 6 ) см.
- Высота пирамиды ( h = 7 ) см.
Шаг 1: Найдем величину апофемы.
Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нам нужно знать апофему (наклонное ребро) боковой грани. Апофема ( l ) пирамиды может быть найдена через высоту и половину стороны основания. Сначала найдем половину стороны основания:
[
\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см.}
]
Затем применим теорему Пифагора, чтобы найти апофему ( l ):
[
l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \text{ см.}
]
Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность квадратной пирамиды состоит из 4 треугольников, каждый из которых имеет основание ( a ) и высоту ( l ). Площадь одного треугольника:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{58}.
]
Площадь всей боковой поверхности:
[
S_{\text{боковая}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{58}\right) = 12 \cdot \sqrt{58} \text{ см}^2.
]
Задача 6: Площадь полной поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды
Дано:
- Длина стороны верхнего основания ( a_1 = 8 ) см.
- Длина стороны нижнего основания ( a_2 = 22 ) см.
- Высота ( h = 14 ) см.
Шаг 1: Найдем площади оснований.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
[
S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
]
Площадь верхнего основания ( S_1 ):
[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2.
]
Площадь нижнего основания ( S_2 ):
[
S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 22^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 484 = 121\sqrt{3} \text{ см}^2.
]
Шаг 2: Найдем боковую поверхность.
Для боковой поверхности усеченной пирамиды нам нужно знать периметры оснований:
- Периметр верхнего основания ( P_1 = 3 \cdot 8 = 24 ) см.
- Периметр нижнего основания ( P_2 = 3 \cdot 22 = 66 ) см.
Площадь боковой поверхности ( S_{\text{боковая}} ) можно найти по формуле:
[
S_{\text{боковая}} = \frac{(P_1 + P_2) \cdot h}{2}.
]
Подставим значения:
[
S_{\text{боковая}} = \frac{(24 + 66) \cdot 14}{2} = \frac{90 \cdot 14}{2} = 630 \text{ см}^2.
]
Шаг 3: Найдем полную поверхность.
Полная площадь поверхности ( S_{\text{полная}} ):
[
S_{\text{полная}} = S_1 + S_2 + S_{\text{боковая}} = 16\sqrt{3} + 121\sqrt{3} + 630 = 137\sqrt{3} + 630 \text{ см}^2.
]
Ответы:
- Площадь боковой поверхности пирамиды: ( 12\sqrt{58} ) см².
- Полная площадь поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды: ( 137\sqrt{3} + 630 ) см².
