В треугольнике два угла равны 33° и 92°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 26°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах. 3. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, ∠𝐴𝐵𝐶 = 108°. Найдите угол 𝐵𝐶𝐴. Ответ дайте в градусах. 4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что ∠𝐵𝐴𝐶 = 82°, 𝐴𝐷 — биссектриса. Найдите угол 𝐵𝐴𝐷. Ответ дайте в градусах. 5. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐵𝐻, ∠𝐵𝐴𝐶 = 37°. Найдите угол 𝐴𝐵𝐻. Ответ дайте в градусах. 6. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 133°. Найдите внешний угол при вершине 𝐶. Ответ дайте в градусах. 7. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника. 8. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. 9. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 14, 𝐵𝑀 — медиана, 𝐵𝑀 = 10. Найдите 𝐴𝑀. 10. Точки 𝑀 и 𝑁 являются серединами сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, сторона 𝐴𝐵 равна 21, сторона 𝐵𝐶 равна 22, сторона 𝐴𝐶 равна 28. Найдите 𝑀𝑁. 11. . В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐵, 𝐴𝐵 = 20, 𝐵𝐶 = 10. Найдите 𝐶𝑀. 12. Точки 𝑀 и 𝑁 являются серединами сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Отрезки 𝐴𝑁 и 𝐶𝑀 пересекаются в точке 𝑂, 𝐴𝑁 = 12, 𝐶𝑀 = 18. Найдите 𝐴𝑂. 13. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника. 14. Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника. 15. Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника. 16. Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 7. Найдите площадь этого треугольника. 17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 10, 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐶 = 1 3 . Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶. 18. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶 = 7, 𝐴𝐵 = 25. Найдите 𝑠𝑖𝑛𝐵. 19. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐵𝐶 = 14, 𝐴𝐵 = 50. Найдите 𝑐𝑜𝑠𝐵. 20. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 4 15 , 𝐴𝐵 = 45. Найдите 𝐴𝐶. 21. . В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 3 8 , 𝐴𝐵 = 64. Найдите 𝐵𝐶. 22. Синус острого угла 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен √21 5 . Найдите 𝑐𝑜𝑠𝐴. 23. Косинус острого угла 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 3√7 8 . Найдите 𝑠𝑖𝑛𝐴.

Вот решения заданных задач: 1. В треугольнике сумма углов равна 180°. Значит, третий угол можно найти так: \[ \alpha + \beta + \gamma = 180° \] \[ 33° + 92° + \gamma = 180° \] \[ \gamma = 180° - 125° = 55° \] 2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°: \[ 90° - 26° = 64° \] 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \[ \angle BAC + \angle ACB = 72° \quad (\text{так как } 180° - 108° = 72°) \] Следовательно: \[ \angle ACB = \angle BAC = \frac{72°}{2} = 36° \] 4. Так как биссектрисы делят угол пополам: \[ \angle BAD = \frac{82°}{2} = 41° \] 5. Поскольку ABH является высотой, угол AHB = 90°. Суммируем: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180° \] То есть: \[ 37° + \angle ABH + 90° = 180° \] \[ \angle ABH = 180° - 127° = 53° \] 6. Внешний угол равен сумме противолежащих углов: \[ 180° - 133° = 47° \] 7. Используем теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \] 8. Высота \(h\) к гипотенузе (c) равна: \[ h = \frac{AB \cdot BC}{c} \] где \(c = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25\): \[ h = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12 \] 9. Используем формулу медианы: \[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \] Здесь \(BM = 10\) и \(AC = 14\): \[ 10 = \frac{1}{2} \sqrt{2A^2 + 2 \cdot 10^2 - 14^2} \] 10. Длина отрезка \(MN\) в средней линии: \[ MN = \frac{1}{2} \cdot AC \] \( MN = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 \). 11. В прямоугольном треугольнике CM = AB/2 (так как M - середина): \[ CM = \sqrt{(10)^2 + (20)^2} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10. \] 12. Применяем правило внутреннего сечения: \[ AO = \frac{AC \cdot AN}{AC + CM} = \frac{12 \cdot AC}{12 + 18} \] 13. Высота равностороннего треугольника: \[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}. \] 14. Используем формулу медианы: \[ BM = \frac{a \sqrt{3}}{2} = 13\sqrt{3}, \quad a = 13. \] 15. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 31 = 217. \] 16. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21. \] 17. Используем формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = 10. \] 18. Используем теорему Пифагора для нахождения \(BC\): \[ BC = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24. \] 19. Используем: \[ \cos B = \frac{BC}{AB}, \quad \cos B = \frac{14}{50} \rightarrow \textrm{ далее найдем } B. \] 20. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 14 \cdot \frac{4}{15} = 56. \] 21. Используем тригонометрические формулы для нахождения \(BC\). 22. \( \cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \frac{4}{5}. \) 23. \(\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right)^2}.\) Если нужно более подробное решение для каких-либо задач или есть другие вопросы, дайте знать!