Известно что сумма чисел a и b равна 624 а их наибольший общий делитель равен 52. найди все такие пары чисел a и b. для каждой пары найдите разность наименьшего и наибольшего числа. в ответ напиши наименьшую возможную разность

Чтобы решить задачу, начнем с формулировки заданных условий: 1. Сумма чисел \( a \) и \( b \): \[ a + b = 624 \] 2. Наибольший общий делитель (НОД) чисел \( a \) и \( b \): \[ \text{НОД}(a, b) = 52 \] ### Шаг 1: Обозначим числа через их НОД Так как \( 52 \) является НОД чисел \( a \) и \( b \), можно записать их в виде: \[ a = 52m \quad \text{и} \quad b = 52n \] где \( m \) и \( n \) — целые числа, причем \( \text{НОД}(m, n) = 1 \) (м и н взаимно простые). ### Шаг 2: Подставим в уравнение Подставим \( a \) и \( b \) в уравнение суммы: \[ 52m + 52n = 624 \] Упрощаем это уравнение, деля обе стороны на 52: \[ m + n = \frac{624}{52} = 12 \] ### Шаг 3: Найдем пары \((m, n)\) Теперь нужно найти все пары \((m, n)\), такие что: \[ m + n = 12 \quad \text{и} \quad \text{НОД}(m, n) = 1 \] Переберём все целые положительные пары \( (m, n) \): - Если \( m = 1 \): \( n = 11 \) (НОД(1, 11) = 1) - Если \( m = 2 \): \( n = 10 \) (НОД(2, 10) = 2, не подходит) - Если \( m = 3 \): \( n = 9 \) (НОД(3, 9) = 3, не подходит) - Если \( m = 4 \): \( n = 8 \) (НОД(4, 8) = 4, не подходит) - Если \( m = 5 \): \( n = 7 \) (НОД(5, 7) = 1, подходит) - Если \( m = 6 \): \( n = 6 \) (НОД(6, 6) = 6, не подходит) Таким образом, возможные пары \((m, n)\): 1. \((1, 11)\) 2. \((5, 7)\) ### Шаг 4: Найдем \((a, b)\) для найденных \( (m, n) \) Теперь преобразуем найденные пары в \( (a, b) \): 1. Для \( (1, 11) \): \[ a = 52 \times 1 = 52, \quad b = 52 \times 11 = 572 \] \[ \text{Разность} = |52 - 572| = 520 \] 2. Для \( (5, 7) \): \[ a = 52 \times 5 = 260, \quad b = 52 \times 7 = 364 \] \[ \text{Разность} = |260 - 364| = 104 \] ### Шаг 5: Найдем наименьшую возможную разность Теперь сравним разности: - \( 520 \) - \( 104 \) Наименьшая разность: \[ \boxed{104} \] Таким образом, все пары чисел \( a \) и \( b \), удовлетворяющие данным условиям, найдены, и наименьшая разность между ними равна \( 104 \).