В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45 градусов, гипотенуза 20 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе.

Для решения этой задачи, сначала давайте вспомним, что в прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов мы имеем изосцилляющий треугольник, что означает, что оба катета равны друг другу.

Теперь, шаг за шагом, мы пойдем по решению:

Шаг 1: Определение свойств треугольника

В прямоугольном треугольнике с углом 45°, известной гипотенузой и двумя равными катетами, можно воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину катетов.

Обозначим катеты как \( a \). По теореме Пифагора мы имеем:

\[ c^2 = a^2 + a^2 \]

где \( c \) — гипотенуза, равная 20 см. Поэтому у нас получается:

\[ 20^2 = 2a^2 \]

Шаг 2: Решение уравнения

Подставим значение гипотенузы и упростим:

\[ 400 = 2a^2 \]

Теперь разделим обе стороны на 2:

\[ 200 = a^2 \]

Финальным шагом будет извлечение квадратного корня:

\[ a = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \text{ см} \]

Шаг 3: Нахождение медианы

Теперь мы можем найти длину медианы, проведённой к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике длина медианы \( m \), проведенной к гипотенузе, рассчитывается по формуле:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

В нашем случае, так как \( a = b \):

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2a^2 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - c^2} \]

Теперь подставим значения:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{4(10\sqrt{2})^2 - 20^2} \]

Шаг 4: Упрощение

Подсчитаем:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 200 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{800 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{400} \]

Теперь берём квадратный корень:

\[ m = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см} \]

Ответ

Длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна 10 см.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов и гипотенузой 20 см, медиана, проведенная к гипотенузе, составляет 10 см.