Двое рабочих получили задание сделать 72 детали. Первый рабочий сделал за 3 часа часть задания, а затем второй рабочий сделал за 4 часа оставшуюся часть задания. Сколько деталей…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим:

   • \( x \) — количество деталей, которые делает за час первый рабочий.
   • \( y \) — количество деталей, которые делает за час второй рабочий.

2. Из условия задачи известно, что первый рабочий делает 18 деталей на полчаса быстрее, чем второй рабочий. Это означает, что: \[ \frac{18}{x} = \frac{18}{y} - 0.5 \] (то есть, время, необходимое первому рабочему, меньше времени второго рабочего на 0.5 часа).

3. Упростим это уравнение: \[ \frac{18}{x} + 0.5 = \frac{18}{y} \] Умножим обе части на \(xy\) (чтобы избавиться от дробей): \[ 18y + 0.5xy = 18x \] Перепишем: \[ 18y - 18x + 0.5xy = 0 \tag{1} \]

4. Далее, по задаче известно, что два рабочих сделали 72 детали за определенное количество времени. Предположим, что первый рабочий работает \(t_1\) часов, а второй — \(t_2\) часов:

   • Первый рабочий за \(t_1\) часов сделал \(x \cdot t_1\) деталей.
   • Второй рабочий за \(t_2\) часов сделал \(y \cdot t_2\) деталей. По условию задачи: \[ x \cdot t_1 + y \cdot t_2 = 72 \tag{2} \]

5. Также известно, что первый рабочий делал за 3 часа, что означает: \[ t_1 = 3 \] А второй рабочий сделал оставшуюся часть за 4 часа: \[ t_2 = 4 \]

6. Подставим \(t_1\) и \(t_2\) в (2): \[ 3x + 4y = 72 \tag{3} \]

Теперь у нас есть две системы уравнений: (1) и (3).

Решим систему уравнений

Из (1): \[ 0.5xy = 18x - 18y \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ xy = 36x - 36y \] Переносим все в одну сторону: \[ xy - 36x + 36y = 0 \tag{4} \]

Теперь у нас есть уравнения (3) и (4).

Подставляем уравнение (3)

Из (3) выразим \(y\): \[ 4y = 72 - 3x \\ y = \frac{72 - 3x}{4} \]

Подставляем \(y\) в уравнение (4): \[ x \left(\frac{72 - 3x}{4}\right) - 36x + 36 \left(\frac{72 - 3x}{4}\right) = 0 \] Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ x(72 - 3x) - 144x + 36(72 - 3x) = 0 \\ 72x - 3x^2 - 144x + 2592 - 108x = 0 \] Соберем все в одном уравнении: \[ -3x^2 + (72 - 144 - 108)x + 2592 = 0 \\ -3x^2 - 180x + 2592 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение: \[ 3x^2 + 180x - 2592 = 0 \] Для нахождения корней используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 180^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2592) \] \[ D = 32400 + 31104 = 63504 \]

Теперь вычисляем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-180 \pm \sqrt{63504}}{6} \]

Решения будут: \[ x_1 = \frac{-180 + 252}{6} = \frac{72}{6} = 12 \\ x_2 = \frac{-180 - 252}{6} \quad (не будем учитывать, так как скорость не может быть отрицательной) \]

Ответ

Таким образом, первый рабочий делает 12 деталей за час.