Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- ( x ) — количество деталей, которые делает за час первый рабочий.
- ( y ) — количество деталей, которые делает за час второй рабочий.
Из условия задачи известно, что первый рабочий делает 18 деталей на полчаса быстрее, чем второй рабочий. Это означает, что:
[
\frac{18}{x} = \frac{18}{y} - 0.5
]
(то есть, время, необходимое первому рабочему, меньше времени второго рабочего на 0.5 часа).
Упростим это уравнение:
[
\frac{18}{x} + 0.5 = \frac{18}{y}
]
Умножим обе части на (xy) (чтобы избавиться от дробей):
[
18y + 0.5xy = 18x
]
Перепишем:
[
18y - 18x + 0.5xy = 0 \tag{1}
]
Далее, по задаче известно, что два рабочих сделали 72 детали за определенное количество времени. Предположим, что первый рабочий работает (t_1) часов, а второй — (t_2) часов:
- Первый рабочий за (t_1) часов сделал (x \cdot t_1) деталей.
- Второй рабочий за (t_2) часов сделал (y \cdot t_2) деталей.
По условию задачи:
[
x \cdot t_1 + y \cdot t_2 = 72 \tag{2}
]
Также известно, что первый рабочий делал за 3 часа, что означает:
[
t_1 = 3
]
А второй рабочий сделал оставшуюся часть за 4 часа:
[
t_2 = 4
]
Подставим (t_1) и (t_2) в (2):
[
3x + 4y = 72 \tag{3}
]
Теперь у нас есть две системы уравнений: (1) и (3).
Решим систему уравнений
Из (1):
[
0.5xy = 18x - 18y
]
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
xy = 36x - 36y
]
Переносим все в одну сторону:
[
xy - 36x + 36y = 0 \tag{4}
]
Теперь у нас есть уравнения (3) и (4).
Подставляем уравнение (3)
Из (3) выразим (y):
[
4y = 72 - 3x \
y = \frac{72 - 3x}{4}
]
Подставляем (y) в уравнение (4):
[
x \left(\frac{72 - 3x}{4}\right) - 36x + 36 \left(\frac{72 - 3x}{4}\right) = 0
]
Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:
[
x(72 - 3x) - 144x + 36(72 - 3x) = 0 \
72x - 3x^2 - 144x + 2592 - 108x = 0
]
Соберем все в одном уравнении:
[
-3x^2 + (72 - 144 - 108)x + 2592 = 0 \
-3x^2 - 180x + 2592 = 0
]
Решаем квадратное уравнение
Теперь решим квадратное уравнение:
[
3x^2 + 180x - 2592 = 0
]
Для нахождения корней используем дискриминант (D = b^2 - 4ac):
[
D = 180^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2592)
]
[
D = 32400 + 31104 = 63504
]
Теперь вычисляем корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-180 \pm \sqrt{63504}}{6}
]
Решения будут:
[
x_1 = \frac{-180 + 252}{6} = \frac{72}{6} = 12 \
x_2 = \frac{-180 - 252}{6} \quad (не будем учитывать, так как скорость не может быть отрицательной)
]
Ответ
Таким образом, первый рабочий делает 12 деталей за час.
