Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников утверждает, что если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Формулировка теоремы (первый признак равенства треугольников):

Если \( ABC \) и \( A'B'C' \) — два треугольника, такие что \( AB = A'B' \), \( BC = B'C' \), \( CA = C'A' \), тогда треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) равны, то есть \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \).

Доказательство:

1. Пусть \( AB = A'B' \), \( BC = B'C' \), \( CA = C'A' \). Это означает, что длины сторон первого треугольника равны длинам сторон второго.

2. Рассмотрим треугольник \( ABC \) и его стороны:

   • Угол \( A \) против стороны \( BC \)
   • Угол \( B \) против стороны \( CA \)
   • Угол \( C \) против стороны \( AB \)

3. По свойству равенства сторон, также будет выполняться равенство углов, так как:

   • Угол, противостоящий стороне \( AB \) совпадает с углом, противостоящим стороне \( A'B' \).
   • Угол \( A \) совпадает с углом \( A' \) и равно \( 60^\circ \) (например).
   • Угол \( B \) совпадает с углом \( B' \), и так далее.

4. Следовательно, все углы и стороны одного треугольника равны углам и сторонам другого треугольника.

5. Таким образом, по определению равенства треугольников \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \).

Этим доказывается, что если длины всех трех сторон одного треугольника равны длинам всех трех сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.