Реши уравнение X^4-7x^2+12=0
Давайте решим уравнение \( x^4 - 7x^2 + 12 = 0 \) шаг за шагом.
Шаг 1: Упрощение уравнения
Мы видим, что уравнение является полиномом четвёртой степени. Чтобы упростить его, сделаем замену переменной. Пусть:
\[ y = x^2 \]
Тогда уравнение можно переписать как:
\[ y^2 - 7y + 12 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение \( ay^2 + by + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = 12 \). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Теперь подставим это обратно в формулу:
\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \]
Шаг 3: Нахождение корней \( y \)
Теперь найдём два значения для \( y \):
- \( y_1 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( y_2 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Таким образом, мы нашли корни для \( y \):
\[ y_1 = 4 \quad \text{и} \quad y_2 = 3 \]
Шаг 4: Возврат к переменной \( x \)
Теперь вернёмся к переменной \( x \):
Для \( y_1 = 4 \): \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \]
Для \( y_2 = 3 \): \[ x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} \]
Шаг 5: Полный набор корней
Таким образом, у уравнения \( x^4 - 7x^2 + 12 = 0 \) есть 4 корня:
\[ x = 2, \quad x = -2, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} \]
Ответ
Корни уравнения:
\[ x = 2, \quad x = -2, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} \]
Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
