1x² - 6/x -7=0
Решим уравнение \( 1x^2 - \frac{6}{x} - 7 = 0 \).
Шаг 1: Устранение дробей
Для удобства решим уравнение без дробей. Умножим обе стороны уравнения на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):
\[ x \cdot (1x^2) - x \cdot \left(\frac{6}{x}\right) - x \cdot 7 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ x^3 - 6 - 7x = 0 \]
Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\[ x^3 - 7x - 6 = 0 \]
Шаг 3: Поиск корней уравнения
Теперь мы будем искать корни этого кубического уравнения. Начнем с проверки возможных целых корней. Для начала попробуем \( x = 2 \):
\[ (2)^3 - 7(2) - 6 = 8 - 14 - 6 = -12 \quad (\text{Не корень}) \]
Попробуем \( x = -2 \):
\[ (-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0 \quad (\text{Корень!}) \]
Шаг 4: Деление многочлена
Теперь, когда мы нашли корень \( x = -2 \), мы можем разделить многочлен \( x^3 - 7x - 6 \) на \( x + 2 \) с использованием деления многочленов.
Деление дает:
\[ x^3 - 7x - 6 = (x + 2)(x^2 - 2x - 3) \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). Оно может быть решено через факторизацию или при помощи формулы.
Факторизуем его:
\[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \]
Шаг 6: Поиск корней
Решая каждое из уравнений:
- \( x - 3 = 0 \) дает \( x = 3 \)
- \( x + 1 = 0 \) дает \( x = -1 \)
Шаг 7: Запись всех корней
Теперь у нас есть все корни уравнения:
\[ x = -2, \quad x = 3, \quad x = -1 \]
Итак, все решения уравнения \( 1x^2 - \frac{6}{x} - 7 = 0 \) — это \( x = -2, 3, -1 \).
