Докажите что четырëхугольник ABC с вершинами в точках A(1;-5) B(2;3) C(-3;1) D(-4;-7) являються палелограммом

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо проверить, выполняются ли следующие условия:

1. Противоположные стороны параллельны: AB || CD и BC || AD.
2. Противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
3. Диагонали встречаются в их серединах: AC пересекает BD в его середине.

Для данного четырехугольника ABCD:

1. Найдем угловые коэффициенты прямых AB, CD, BC и AD.

   Угловой коэффициент прямой AB: m(AB) = (3 - (-5))/(2 - 1) = 8/1 = 8.

   Угловой коэффициент прямой CD: m(CD) = (1 - (-7))/(-3 - (-4)) = 8 / 1 = 8.

   Угловой коэффициент прямой BC: m(BC) = (1 - 3)/(-3 - 2) = -2 / -5 = 2/5.

   Угловой коэффициент прямой AD: m(AD) = (-5 - (-7))/(1 - (-4)) = 2 / 5.

   Получаем, что AB || CD и BC || AD.

2. Найдем длины сторон AB, CD, BC и AD.

   Длина стороны AB: AB = sqrt((2 - 1)^2 + (3 - (-5))^2) = sqrt(1 + 64) = sqrt(65).

   Длина стороны CD: CD = sqrt((-3 - (-4))^2 + (1 - (-7))^2) = sqrt(1 + 64) = sqrt(65).

   Длина стороны BC: BC = sqrt((1 - 3)^2 + (1 - 3)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8).

   Длина стороны AD: AD = sqrt((1 - (-4))^2 + (-5 - (-7))^2) = sqrt(25 + 4) = sqrt(29).

   Получаем, что AB = CD и BC = AD.

3. Найдем координаты середины диагонали AC и BD.

   Координаты середины диагонали AC: x_AC = (1 + (-3))/2 = -2/2 = -1. y_AC = (-5 + 1)/2 = -4/2 = -2.

   Координаты середины диагонали BD: x_BD = (2 + (-4))/2 = -2/2 = -1. y_BD = (3 + (-7))/2 = -4/2 = -2.

   Получаем, что точка (-1, -2) является серединой обеих диагоналей.

Таким образом, проверка условий показывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.