Для решения задачи начнем с формулировки исходных данных и шагов, необходимых для нахождения периметра правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности.
Шаг 1: Определение данных
У нас есть правильный треугольник, вписанный в окружность (это называется "вписанный треугольник"), и его периметр составляет (6^3) (то есть (6 \times 6 \times 6 = 216)).
Шаг 2: Perиметр правильного треугольника
Периметр правильного треугольника (где все стороны равны) можно выразить как:
[
P = 3a
]
где (a) — длина стороны треугольника.
Из этого уравнения находим длину стороны (a):
[
3a = 216 \implies a = \frac{216}{3} = 72
]
Шаг 3: Связь между треугольником и шестиугольником
Правильный шестиугольник, описанный около окружности, имеет такие же радиусы вписанной и описанной окружностей, но в отличие от треугольника все его стороны равны.
Для правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус окружности (R) связан со стороной (a) следующим образом:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Подставляем значение стороны (a):
[
R = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3}
]
Шаг 4: Находим периметр шестиугольника
Правильный шестиугольник также может быть описан через радиус его окружности. Поскольку радиус описанной окружности (r) будет равен радиусу вписанной окружности треугольника:
[
r = \frac{R}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}
]
Теперь длина стороны (b) правильного шестиугольника:
[
b = r \cdot \sqrt{3}
]
[
b = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36
]
Шаг 5: Периметр шестиугольника
Периметр (P_6) правильного шестиугольника вычисляется как:
[
P_6 = 6b = 6 \cdot 36 = 216
]
Ответ
Таким образом, периметр правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, равен (216).
