(3х+2) в квадрате =(2х+3)(2х-3) +5 в квадрате найдите корень уравнения
Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.
Наше уравнение выглядит так:
\[ (3x + 2)^2 = (2x + 3)(2x - 3) + 5^2 \]
Шаг 1: Упрощение правой части уравнения
Начнем с правой части уравнения \((2x + 3)(2x - 3) + 5^2\).
Выражение \((2x + 3)(2x - 3)\) — это формула разности квадратов, которая равна \(a^2 - b^2\), где \(a = 2x\) и \(b = 3\). То есть: \[ (2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9 \]
Член \(5^2\) равен \(25\).
Теперь подставим это в уравнение: \[ (3x + 2)^2 = 4x^2 - 9 + 25 \] Сложим \(-9\) и \(25\): \[ 4x^2 - 9 + 25 = 4x^2 + 16 \]
Теперь у нас есть: \[ (3x + 2)^2 = 4x^2 + 16 \]
Шаг 2: Упрощение левой части уравнения
Теперь упростим левую часть уравнения \((3x + 2)^2\): \[ (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4 \]
Шаг 3: Запись уравнения
Теперь у нас есть уравнение: \[ 9x^2 + 12x + 4 = 4x^2 + 16 \]
Шаг 4: Перенос всех членов на одну сторону уравнения
Теперь перенесем все члены на одну сторону: \[ 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 - 16 = 0 \] Группируем похожие члены: \[ (9x^2 - 4x^2) + 12x + (4 - 16) = 0 \] Получаем: \[ 5x^2 + 12x - 12 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Мы имеем квадратное уравнение \(5x^2 + 12x - 12 = 0\). Решим его с помощью дискриминанта.
Вычислим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) \] \[ D = 144 + 240 = 384 \]
Находим корни уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{384}}{2 \cdot 5} \] Вычисляем корень из 384: \[ \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6} \]
Теперь подставим это обратно: \[ x = \frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{10} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{5} \]
Ответ
Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{5}, \quad x_2 = \frac{-6 - 4\sqrt{6}}{5} \]
Это два решения нашего уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
