Решите уравнение над комплексными числами: x²−8x+17=0.

Для решения уравнения \( x^2 - 8x + 17 = 0 \) над комплексными числами, мы будем использовать формулу квадратичного уравнения.

Шаг 1: Запишем формулу объединенной коренной формы

Общая формула для решения уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) звучит так:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

Шаг 2: Определим коэффициенты

В нашем уравнении:

• \( a = 1 \)
• \( b = -8 \)
• \( c = 17 \)

Шаг 3: Подставим коэффициенты в формулу

Теперь подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \) в формулу:

\[ x = \frac{{-(-8) \pm \sqrt{{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}}}{2 \cdot 1} \]

Шаг 4: Вычислим дискриминант

Дискриминант \( D \) составляет:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4 \]

Шаг 5: Подставим дискриминант в формулу

Теперь мы можем подставить найденный дискриминант в нашу формулу для нахождения корней:

\[ x = \frac{{8 \pm \sqrt{-4}}}{2} \]

Шаг 6: Вычислим корень из дискриминанта

Так как дискриминант отрицательный, мы будем работать с комплексными числами.

\[ \sqrt{-4} = 2i \]

где \( i \) — мнимая единица.

Шаг 7: Подставим и упрощаем

Теперь подставляем \( \sqrt{-4} \) обратно в формулу:

\[ x = \frac{{8 \pm 2i}}{2} \]

Теперь делим каждую из частей на 2:

\[ x = 4 \pm i \]

Шаг 8: Записываем окончательные корни

Таким образом, корни уравнения \( x^2 - 8x + 17 = 0 \) над комплексными числами:

\[ x_1 = 4 + i \] \[ x_2 = 4 - i \]

Заключение

Мы нашли два комплексных корня данного уравнения. Если у вас есть вопросы по решению или вы хотите рассмотреть какие-то другие аспекты задачи, не стесняйтесь спрашивать!