Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Из условия задачи у нас есть два уравнения:
Периметр:
[
2(a + b) = 20 \implies a + b = 10
]
Площадь:
[
a \cdot b = 24
]
Теперь мы можем выразить одну из сторон через другую с помощью первого уравнения. Пусть ( b = 10 - a ). Подставим это значение во второе уравнение:
[
a \cdot (10 - a) = 24
]
Раскроем скобки:
[
10a - a^2 = 24
]
Преобразуем уравнение:
[
-a^2 + 10a - 24 = 0
]
Умножим на -1, чтобы упростить:
[
a^2 - 10a + 24 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2}{2}
]
Получаем два корня:
[
a_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad a_2 = \frac{8}{2} = 4
]
Таким образом, ( a = 6 ) и ( b = 4 ), или наоборот, ( a = 4 ) и ( b = 6 ).
Итак, стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.
