2) Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 9 корню из 3 дм. Найдите периметр квадрата, описанного около той же окружности.
Чтобы решить задачу, нам нужно вспомнить некоторые свойства правильных фигур и их взаимосвязи.
Определение правильного треугольника и окружности: Правильный треугольник (или равносторонний треугольник) — это треугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны (60 градусов). Если такой треугольник вписан в окружность, то эта окружность называется описанной окружностью треугольника.
Периметр правильного треугольника: Периметр правильного треугольника рассчитывается по формуле: \[ P = 3a \] где \(P\) — это периметр, а \(a\) — длина стороны треугольника.
В нашей задаче дан периметр треугольника: \[ P = 9\sqrt{3} \text{ дм} \] Отсюда можем найти длину стороны треугольника: \[ 3a = 9\sqrt{3} \implies a = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \text{ дм} \]
Радиус описанной окружности: Для равностороннего треугольника существует связь между длиной стороны \(a\) и радиусом описанной окружности \(R\): \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Подставим найденное значение \(a\): \[ R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ дм} \]
Периметр квадрата, описанного около окружности: Если квадрат описан около окружности, то радиус окружности равен половине длины стороны квадрата \(s\): \[ R = \frac{s}{2} \implies s = 2R \] Подставив найденное значение радиуса, получаем: \[ s = 2 \times 3 = 6 \text{ дм} \]
Периметр квадрата: Периметр квадрата рассчитывается по формуле: \[ P_{square} = 4s \] Подставим значение стороны квадрата: \[ P_{square} = 4 \times 6 = 24 \text{ дм} \]
Ответ: Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 24 дм.
