Чтобы найти вероятность того, что из 15 выстрелов не будет ни одного попадания при вероятности попадания в мишень 0,2, мы можем использовать формулу Бернулли. Основной шаг заключается в том, что мы рассматриваем случай, когда событие (попадание) происходит n раз, а не происходит m раз (в нашем случае m = 15, поскольку мы хотим, чтобы не было ни одного попадания).
Формула Бернулли
Формула Бернулли выглядит следующим образом:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} ]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность к попаданию k раз (в нашем случае k = 0),
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который определяется как ( \frac{n!}{k!(n - k)!} ),
- ( p ) — вероятность успешного исхода (в нашем случае ( p = 0,2 )),
- ( n ) — общее количество испытаний (в нашем случае ( n = 15 )),
- ( (1 - p) ) — вероятность неуспешного исхода (в нашем случае ( 1 - p = 0,8 )).
В нашем случае
Подставляем значения в формулу. Нам нужно вычислить вероятность того, что ( k = 0 ):
- Вычисляем биномиальный коэффициент ( C(15, 0) ):
[ C(15, 0) = \frac{15!}{0!(15 - 0)!} = 1 ]
- Теперь подставляем все значения в формулу:
[
P(X = 0) = C(15, 0) \cdot (0,2)^0 \cdot (0,8)^{15}
]
- Упрощаем:
[
P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,8)^{15}
]
- Теперь вычисляем ( (0,8)^{15} ):
[
(0,8)^{15} \approx 0,035184372
]
Ответ
Следовательно, вероятность того, что из 15 выстрелов не будет ни одного попадания, составляет примерно:
[
P(X = 0) \approx 0,0352
]
Это означает, что вероятность не попасть ни разу за 15 выстрелов составляет примерно 3,52%.
