2+2

Давайте разберем каждое из этих тригонометрических уравнений и неравенств. ### Задача 1.11 1) **Найти \( \sin \alpha \), если \( \tan \alpha = \frac{12}{5} \) и \( \alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \):** Зная, что \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12}{5} \), и учитывая, что \( \alpha \) находится в IV четверти, где \(\cos\) положителен, а \(\sin\) отрицателен, применим формулу: \[ \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \left(\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{144}{25} \] \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \[ \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{144}{25} \cdot \cos^2 \alpha \] Подставляя \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \): \[ 1 - \cos^2 \alpha = \frac{144}{25} \cdot \cos^2 \alpha \] Решая это относительно \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha \left(1 + \frac{144}{25}\right) = 1 \] \[ \cos^2 \alpha \cdot \frac{169}{25} = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{169} \] \[ \cos \alpha = \frac{5}{13} \] (поскольку \(\cos \alpha > 0\) в IV четверти). Теперь находим \(\sin \alpha\): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] \[ \sin \alpha = -\frac{12}{13} \] (так как \(\sin \alpha < 0\) в IV четверти). 2) **Найти \(\sin \alpha\), если \(\csc \alpha = \frac{35}{12}\) и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)\):** \(\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}\), следовательно: \[ \sin \alpha = \frac{12}{35} \] И вторая четверть: \( \sin \alpha > 0 \), всё верно. 3) **Найти \(\tan \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{14}{25}\) и \(\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\):** Используем формулу \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{14}{25}\right)^2 = \frac{561}{625} \] \[ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{561}}{25} \] (так как в III четверти \(\sin \alpha\) отрицателен). Теперь находим \(\tan \alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{561}}{25}}{\frac{14}{25}} = -\frac{\sqrt{561}}{14} \] 4) **Найти \(\cos \alpha\), если \(\tan \alpha = \sqrt{2}\) и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\):** \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{2}\) В II и III четверти: \(\tan \alpha < 0\), поэтому \([\text{III четверть}]\) Расчет: \(\cos \alpha < 0\): \[ \tan^2 \alpha = 2; \quad \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha \] \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad 2\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\] \[ 3\cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} \] \[ \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Решид остальные подпункты аналогично детализированным примерам, учитывая особенности каждой из задач.