Давайте рассмотрим каждое предложение и исправим ошибки, связанные с употреблением местоимений.
Исходное предложение: Иногда появляется потребность заботиться о кое-ком.
Исправленное предложение: Иногда появляется потребность заботиться о ком-то.
Комментарий: "Кое-кто" используется для людей в общем смысле, поэтому вернее сказать "о ком-то".Исходное предложение: В этом стихотворении А. С. Пушкина владыка отправляет раба к ядовитому дереву — анчару, но тот умирает.
Исправленное предложение: В этом стихотворении А. С. Пушкина владыка отправляет раба к ядовитому дереву — анчару, но раба умирает.
Комментарий: Здесь следует уточнить, о ком идет речь, чтобы не возникало недоразумений.Исходное предложение: Армии Римской империи были сильно истощены, чтобы преследовать варваров за их границами.
Исправленное предложение: Армии Римской империи были сильно истощены, чтобы преследовать варваров за её границами.
Комментарий: Местоимение "их" нужно заменить на "её", так как речь идет о границах Римской империи.Исходное предложение: Стихи В. В. Маяковского сами заставляют себя читать.
Исправленное предложение: Стихи В. В. Маяковского сами заставляют читать себя.
Комментарий: Порядок слов нужно изменить, чтобы избежать неправильного употребления местоимений.Исходное предложение: На протяжении всей своей жизни Онегина он не приносил никакой пользы никому и даже самому себе.
Исправленное предложение: На протяжении всей своей жизни Онегина он не приносил никакой пользы никому и даже себе.
Комментарий: Употребление "самому себе" здесь избыточно.Исходное предложение: Не удержал мяч вратарь, но ударить по нему было некому.
Исправленное предложение: Не удержал мяч вратарь, но ударить по мячу было некому.
Комментарий: Корректнее употребить "мячу" для согласования.Исходное предложение: Нам надо больше узнать о друг друге.
Исправленное предложение: Нам надо больше узнать о друг друге. (без изменений).
Комментарий: Оба варианта допустимы, но классические— "друг о друге" (также имеется вариант "друг с другом", однако, здесь слово "друг" не в притяжательном значении).Исходное предложение: И всё-таки с кое-чем я не согласен.
Исправленное предложение: И всё-таки с чем-то я не согласен.
Комментарий: Вместо "кое-чем" лучше использовать "чем-то".Исходное предложение: Не верьте ихним песенкам и стишкам.
Исправленное предложение: Не верьте их песенкам и стишкам.
Комментарий: Правильная форма — "их" вместо "ихним", так как "их" уже является притяжательным местоимением.Исходное предложение: Ближе него к истине не подошёл никто.
Исправленное предложение: Ближе к истине не подошёл никто.
Комментарий: "Него" здесь можно опустить, чтобы предложение звучало более уместно.Исходное предложение: Катерина не может жить в доме ненавистной Кабанихи, потому что не любит она Тихона, нет, не любит.
Исправленное предложение: Катерина не может жить в доме ненавистной Кабанихи, потому что не любит Тихона, нет, не любит.
Комментарий: Слова "она" можно опустить для лучшего звучания.
Вот исправленные вариации предложений с комментариями. Если остались вопросы, спрашивайте!