сумма квадратов цифр двузначного числа равна 25. если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифраии, но в обратном порядке. найдите это число.
Решим задачу пошагово:
Обозначаем двузначное число.
Пусть двузначное число обозначается как \( AB \), где \( A \) — десятичная цифра, а \( B \) — единичная цифра. Тогда это число можно записать как \( 10A + B \).Условия задачи.
Из условия известно, что сумма квадратов цифр этого числа равна 25: \[ A^2 + B^2 = 25 \] Также, если из числа вычесть 9, получится число с теми же цифрами, записанными в обратном порядке, то есть: \[ 10A + B - 9 = 10B + A \]Упрощаем второе уравнение.
Перепишем второе уравнение: \[ 10A + B - 9 = 10B + A \] Переместим все члены в одну сторону: \[ 10A + B - 10B - A - 9 = 0 \] Упростим его: \[ 9A - 9B - 9 = 0 \] Разделим на 9: \[ A - B - 1 = 0 \] Отсюда получаем: \[ A = B + 1 \]Подставим \( A \) в первое уравнение.
Теперь подставим \( A = B + 1 \) в уравнение \( A^2 + B^2 = 25 \): \[ (B + 1)^2 + B^2 = 25 \] Раскроем скобки: \[ B^2 + 2B + 1 + B^2 = 25 \] Сложим подобные: \[ 2B^2 + 2B + 1 = 25 \] Переносим 25 в левую часть: \[ 2B^2 + 2B + 1 - 25 = 0 \] Упрощаем: \[ 2B^2 + 2B - 24 = 0 \] Делим все уравнение на 2: \[ B^2 + B - 12 = 0 \]Решаем квадратное уравнение.
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ B = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -12 \): \[ B = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1 + 48}}}}{2} = \frac{{-1 \pm 7}}{2} \] Находим корни: \[ B_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad B_2 = \frac{-8}{2} = -4 \] Так как \( B \) — цифра, оставляем только \( B = 3 \).Находим \( A \).
Подставим значение \( B \) обратно: \[ A = B + 1 = 3 + 1 = 4 \]Записываем конечный ответ.
Таким образом, двузначное число: \[ AB = 43 \]Проверяем условия задачи.
- Сумма квадратов: \[ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \] (верно)
- После вычитания 9: \[ 43 - 9 = 34 \] Проверяем обратный порядок: цифры 4 и 3 становятся 34 — верно.
Ответ: искомое число — 43.
