Имеются три партии деталей по 30 штук в каждый. Число стандартных деталей в первой второй и третьей партии соответственно оавно 30 25 и 20. Из произвольно выбранной партии наудачу…
Имеются три партии деталей по 30 штук в каждый. Число стандартных деталей в первой второй и третьей партии соответственно оавно 30 25 и 20. Из произвольно выбранной партии наудачу извлечена деталь оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь которая также оказывается стандартной. Найдите вероятность того что детали были извлечены из третьей партии.
Для решения данной задачи мы можем использовать формулу условной вероятности и метод полной вероятности.
Давайте сначала разберем информацию, которую мы имеем:
- Имеется три партии деталей, каждая из которых состоит из 30 деталей.
- Стандартные детали в каждой партии:
- Первая партия: 30 стандартных деталей.
- Вторая партия: 25 стандартных деталей.
- Третья партия: 20 стандартных деталей.
Сначала найдем вероятность того, что деталь была извлечена из каждой партии, а затем найдем полную вероятность извлечения стандартных деталей и, наконец, условную вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Обозначим события:
- \( A_1 \): Извлечение из первой партии.
- \( A_2 \): Извлечение из второй партии.
- \( A_3 \): Извлечение из третьей партии.
- \( B \): Извлечение стандартной детали.
Найдем вероятности событий \( A_1 \), \( A_2 \), \( A_3 \): Так как каждую партию извлекаем наудачу, вероятность извлечения из любой партии равна: \[ P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \]
Вероятности извлечения стандартной детали из каждой партии:
- Из первой партии: поскольку все детали стандартные, \[ P(B|A_1) = 1 \]
- Из второй партии: 25 стандартных из 30, \[ P(B|A_2) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \]
- Из третьей партии: 20 стандартных из 30, \[ P(B|A_3) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \]
Найдем полную вероятность извлечения стандартной детали \( P(B) \): \[ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) \] Подставим известные значения: \[ P(B) = 1 \cdot \frac{1}{3} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \] Считаем каждое слагаемое: \[ P(B) = \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + \frac{2}{9} \]
Приведем к общему знаменателю (18): \[ P(B) = \frac{6}{18} + \frac{5}{18} + \frac{4}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} \]
И наконец, найдем условную вероятность \( P(A_3|B) \): Используем формулу Байеса: \[ P(A_3|B) = \frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B)} \] Подставим известные значения: \[ P(A_3|B) = \frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)}{\frac{5}{6}} \]
Упрощаем: \[ P(A_3|B) = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{6}} = \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15} \]
Таким образом, вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии, равна \( \frac{4}{15} \).
