Для решения задачи определим среднюю кинетическую энергию теплового движения атомов гелия, используя основные физические формулы.
Шаг 1: Формула для средней кинетической энергии
Средняя кинетическая энергия ( E_k ) одной молекулы в газе может быть найдена по формуле:
[
E_k = \frac{3}{2} k_B T
]
где ( k_B ) — постоянная Больцмана ((1.38 \cdot 10^{-23} , \text{Дж/K})), а ( T ) — температура в Кельвинах.
Шаг 2: Выражение температуры через давление и плотность
Для идеального газа можно использовать уравнение состояния:
[
pV = nRT
]
где:
- ( p ) — давление,
- ( V ) — объем,
- ( n ) — число молей,
- ( R ) — универсальная газовая постоянная ((8.31 , \text{Дж/(моль K)})),
- ( T ) — температура.
С учетом того, что ( n = \frac{m}{M} ) (где ( m ) — масса, а ( M ) — молярная масса), уравнение можно переписать как:
[
p = \frac{m}{V} \cdot \frac{R}{M} \cdot T
]
Разделив обе стороны на ( \frac{m}{V} ) (плотность ( \rho = \frac{m}{V} )), получим:
[
T = \frac{pM}{\rho R}
]
Шаг 3: Подстановка значений
Теперь подставим известные значения:
- ( p = 0.36 , \text{МПа} = 0.36 \cdot 10^6 , \text{Па} )
- ( M = 4 , \text{г/моль} = 0.004 , \text{кг/моль} )
- ( \rho = 1.2 , \text{кг/m}^3 )
- ( R = 8.31 , \text{Дж/(моль K)} )
Теперь найдем ( T ):
[
T = \frac{(0.36 \cdot 10^6) \cdot (0.004)}{(1.2) \cdot (8.31)}
]
Посчитаем:
- Вычислим числитель:
[
0.36 \cdot 10^6 \cdot 0.004 = 1440 , \text{Па}
]
- Вычислим знаменатель:
[
1.2 \cdot 8.31 = 9.972 , \text{Дж/(моль K)}
]
- Найдем температуру ( T ):
[
T = \frac{1440}{9.972} \approx 144.1 , \text{K}
]
Шаг 4: Подстановка температуры в формулу для энергии
Теперь подставим температуру в формулу для средней кинетической энергии:
[
E_k = \frac{3}{2} k_B T
]
Подставим значение температуры и постоянной Больцмана:
[
E_k = \frac{3}{2} \cdot (1.38 \cdot 10^{-23}) \cdot (144.1)
]
Шаг 5: Расчет энергии
- Вычислим ( E_k ):
[
E_k \approx \frac{3}{2} \cdot (1.38 \cdot 10^{-23}) \cdot 144.1 \approx 5.93 \cdot 10^{-22} , \text{Дж}
]
Заключение
Средняя кинетическая энергия теплового движения атомов гелия составляет приблизительно ( 5.93 \times 10^{-22} , \text{Дж} ).
