Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии S4, если b2 = 3, q = 2.

Чтобы найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии \( S_4 \), начнем с определения необходимых элементов прогрессии.

1. Определение первого члена: В геометрической прогрессии члены связаны следующим образом:

   • \( b_1 \) — первый член,
   • \( b_2 = b_1 \cdot q \) — второй член,
   • \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 \) — третий член,
   • \( b_4 = b_3 \cdot q = b_1 \cdot q^3 \) — четвертый член.

   У нас есть информация о втором члене прогрессии \( b_2 \) и общем знаменателе \( q \): \[ b_2 = 3 \] \[ q = 2 \]

   Теперь можем выразить первый член \( b_1 \): \[ b_2 = b_1 \cdot q \implies 3 = b_1 \cdot 2 \implies b_1 = \frac{3}{2} = 1.5 \]

2. Находим все первые четыре члена: Теперь мы можем найти все члены, используя значение \( b_1 \):

   • \( b_1 = 1.5 \)
   • \( b_2 = 3 \)
   • \( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 1.5 \cdot 2^2 = 1.5 \cdot 4 = 6 \)
   • \( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 1.5 \cdot 2^3 = 1.5 \cdot 8 = 12 \)

   Таким образом, первые четыре члена прогрессии:

   • \( b_1 = 1.5 \)
   • \( b_2 = 3 \)
   • \( b_3 = 6 \)
   • \( b_4 = 12 \)

3. Суммируем первые четыре члена: Теперь найдем сумму: \[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 \] Подставляем значения: \[ S_4 = 1.5 + 3 + 6 + 12 \]

   Считаем сумму поэтапно: \[ S_4 = 1.5 + 3 = 4.5 \] \[ S_4 = 4.5 + 6 = 10.5 \] \[ S_4 = 10.5 + 12 = 22.5 \]

Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии \( S_4 = 22.5 \).