Давайте решим задачу по тригонометрии.
У нас есть треугольник ABC, где угол C равен 90° (это прямоугольный треугольник), угол A и сторона AC известны. Нам нужно найти длину стороны AB.
Данные:
- Угол C = 90°
- AC = 8 (это катет, который прилегает к углу A)
- sin (угол A) = 3/5
Шаг 1: Найдем угол A
Из определения синуса мы знаем, что:
[
\sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}
]
Обозначим:
- противоложный катет (это будет катет BC) = x
- гипотенуза AB = c
Тогда мы имеем:
[
\sin A = \frac{x}{c}
]
Так как нам известно, что (\sin A = \frac{3}{5}), мы можем записать:
[
\frac{x}{c} = \frac{3}{5}
]
Шаг 2: Найдем отношение между катетами и гипотенузой
Кроме этого, из теоремы Пифагора мы знаем, что:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
или с нашими обозначениями:
[
c^2 = 8^2 + x^2 \Rightarrow c^2 = 64 + x^2
]
Шаг 3: Связь между противолежащим катетом и гипотенузой
Сначала решим уравнение с использованием отношения. Из (\frac{x}{c} = \frac{3}{5}) можно выразить (x):
[
x = \frac{3}{5}c
]
Шаг 4: Подставим (x) в теорему Пифагора
Теперь подставим (x) в уравнение теоремы Пифагора:
[
c^2 = 64 + \left(\frac{3}{5}c\right)^2
]
еще раз преобразуем:
[
c^2 = 64 + \frac{9}{25}c^2
]
Умножим всё на 25, чтобы избавиться от дробей:
[
25c^2 = 1600 + 9c^2
]
Теперь соберем все члены с (c^2) с одной стороны:
[
25c^2 - 9c^2 = 1600
]
[
16c^2 = 1600
]
[
c^2 = 100
]
Отсюда:
[
c = 10
]
Шаг 5: Найдем AB
Таким образом, длина гипотенузы AB равна 10.
Ответ
Длина стороны AB равна 10.
