ABC sin угол A = 3/5; угол C = 90°, AC = 8. Найдите AB

Давайте решим задачу по тригонометрии.

У нас есть треугольник ABC, где угол C равен 90° (это прямоугольный треугольник), угол A и сторона AC известны. Нам нужно найти длину стороны AB.

Данные:

• Угол C = 90°
• AC = 8 (это катет, который прилегает к углу A)
• sin (угол A) = 3/5

Шаг 1: Найдем угол A

Из определения синуса мы знаем, что: \[ \sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \]

Обозначим:

• противоложный катет (это будет катет BC) = x
• гипотенуза AB = c

Тогда мы имеем: \[ \sin A = \frac{x}{c} \] Так как нам известно, что \(\sin A = \frac{3}{5}\), мы можем записать: \[ \frac{x}{c} = \frac{3}{5} \]

Шаг 2: Найдем отношение между катетами и гипотенузой

Кроме этого, из теоремы Пифагора мы знаем, что: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] или с нашими обозначениями: \[ c^2 = 8^2 + x^2 \Rightarrow c^2 = 64 + x^2 \]

Шаг 3: Связь между противолежащим катетом и гипотенузой

Сначала решим уравнение с использованием отношения. Из \(\frac{x}{c} = \frac{3}{5}\) можно выразить \(x\): \[ x = \frac{3}{5}c \]

Шаг 4: Подставим \(x\) в теорему Пифагора

Теперь подставим \(x\) в уравнение теоремы Пифагора: \[ c^2 = 64 + \left(\frac{3}{5}c\right)^2 \] еще раз преобразуем: \[ c^2 = 64 + \frac{9}{25}c^2 \] Умножим всё на 25, чтобы избавиться от дробей: \[ 25c^2 = 1600 + 9c^2 \] Теперь соберем все члены с \(c^2\) с одной стороны: \[ 25c^2 - 9c^2 = 1600 \] \[ 16c^2 = 1600 \] \[ c^2 = 100 \] Отсюда: \[ c = 10 \]

Шаг 5: Найдем AB

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 10.

Ответ

Длина стороны AB равна 10.