Чтобы решить задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов и подробно объясним каждый из них.
Дано:
- Прямоугольный треугольник DBC, где ∟C = 90°.
- DB = 20 см (гипотенуза).
- BC = 10 см (катет).
Необходимо найти:
Шаг 1: Находим длину катета DC.
В прямоугольном треугольнике DBC можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
DB^2 = BC^2 + DC^2
]
Подставим известные значения:
[
20^2 = 10^2 + DC^2
]
Теперь вычислим:
[
400 = 100 + DC^2
]
[
DC^2 = 400 - 100 = 300
]
[
DC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см} \approx 17.32 \text{ см}
]
Шаг 2: Находим длину отрезка BK.
Теперь, чтобы найти длину отрезка BK, воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе разбивает его на два отрезка, которые связаны с катетами следующим образом:
[
BK \cdot CD = BC^2
]
Обозначим BK как ( x ) и CD как ( y ):
[
x \cdot y = BC^2
]
Но для начала нам нужно выразить DC через BK. Обратите внимание, что:
[
DB = BK + KD
]
Так как BD = BK + CD, а DB = 20 см:
[
20 = x + y
]
Шаг 3: Используем систему уравнений.
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( x \cdot y = 10^2 = 100 )
- ( x + y = 20 )
Из второго уравнения выразим y:
[
y = 20 - x
]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
[
x(20 - x) = 100
]
Раскроем скобки:
[
20x - x^2 = 100
]
Переместим все в одно уравнение:
[
x^2 - 20x + 100 = 0
]
Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения.
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1, b = -20, c = 100 ):
[
D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0
]
Так как дискриминант равен нулю, у этого уравнения только один корень:
[
x = \frac{-b}{2a} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}
]
Ответ:
Таким образом, длина отрезка BK равна 10 см.
