В прямоугольном треугольнике DBC ( ∟C = 900) провели высоту СК. Найти отрезок ВК, если DB = 20 см, ВС = 10 см.
Чтобы решить задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов и подробно объясним каждый из них.
Дано:
- Прямоугольный треугольник DBC, где ∟C = 90°.
- DB = 20 см (гипотенуза).
- BC = 10 см (катет).
Необходимо найти:
- Длину отрезка BK.
Шаг 1: Находим длину катета DC.
В прямоугольном треугольнике DBC можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ DB^2 = BC^2 + DC^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 20^2 = 10^2 + DC^2 \]
Теперь вычислим:
\[ 400 = 100 + DC^2 \] \[ DC^2 = 400 - 100 = 300 \] \[ DC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см} \approx 17.32 \text{ см} \]
Шаг 2: Находим длину отрезка BK.
Теперь, чтобы найти длину отрезка BK, воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе разбивает его на два отрезка, которые связаны с катетами следующим образом:
\[ BK \cdot CD = BC^2 \]
Обозначим BK как \( x \) и CD как \( y \):
\[ x \cdot y = BC^2 \]
Но для начала нам нужно выразить DC через BK. Обратите внимание, что:
\[ DB = BK + KD \]
Так как BD = BK + CD, а DB = 20 см:
\[ 20 = x + y \]
Шаг 3: Используем систему уравнений.
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( x \cdot y = 10^2 = 100 \)
- \( x + y = 20 \)
Из второго уравнения выразим y:
\[ y = 20 - x \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[ x(20 - x) = 100 \]
Раскроем скобки:
\[ 20x - x^2 = 100 \]
Переместим все в одно уравнение:
\[ x^2 - 20x + 100 = 0 \]
Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения.
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = -20, c = 100 \):
\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0 \]
Так как дискриминант равен нулю, у этого уравнения только один корень:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см} \]
Ответ:
Таким образом, длина отрезка BK равна 10 см.
