Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396 . Найди все…

Чтобы решить указанную задачу, начнем с анализа ее условий. У нас есть трехзначное число, обозначим его как \(abc\), где:

• \(a\) — первая цифра (десятки),
• \(b\) — вторая цифра (сотни),
• \(c\) — третья цифра (единицы).

Таким образом, число можно записать как \(100a + 10b + c\). Записывая это же число цифрами в обратном порядке, получим \(cba\) или \(100c + 10b + a\).

Согласно условию задачи, мы вычитаем \(cba\) из \(abc\):

\[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396 \]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 396 \]

Это упрощается до:

\[ 99a - 99c = 396 \]

Можно вынести \(99\) за скобки:

\[ 99(a - c) = 396 \]

Делим обе стороны на \(99\):

\[ a - c = 4 \]

Теперь мы знаем, что первая цифра \(a\) на 4 больше последней цифры \(c\). Исследуем возможные значения для \(a\) и \(c\):

1. \(a\) и \(c\) должны быть цифрами, то есть \(0 \leq a, c \leq 9\).
2. Поскольку \(a\) — первая цифра трехзначного числа, она не может быть равна нулю, то \(1 \leq a \leq 9\).
3. Из уравнения \(a - c = 4\) следует, что \(c = a - 4\).

Теперь подставим возможные значения для \(a\):

• Если \(a = 5\), то \(c = 1\) (число: 5b1)
• Если \(a = 6\), то \(c = 2\) (число: 6b2)
• Если \(a = 7\), то \(c = 3\) (число: 7b3)
• Если \(a = 8\), то \(c = 4\) (число: 8b4)
• Если \(a = 9\), то \(c = 5\) (число: 9b5)

Теперь запишем все возможные числа в зависимости от \(b\):

1. Для \(a = 5\), \(c = 1\): числа 501, 511, 521, 531, 541, 551, 561, 571, 581, 591.
2. Для \(a = 6\), \(c = 2\): числа 602, 612, 622, 632, 642, 652, 662, 672, 682, 692.
3. Для \(a = 7\), \(c = 3\): числа 703, 713, 723, 733, 743, 753, 763, 773, 783, 793.
4. Для \(a = 8\), \(c = 4\): числа 804, 814, 824, 834, 844, 854, 864, 874, 884, 894.
5. Для \(a = 9\), \(c = 5\): числа 905, 915, 925, 935, 945, 955, 965, 975, 985, 995.

Теперь выберем только те числа, которые больше 900:

• \(905\)
• \(915\)
• \(925\)
• \(935\)
• \(945\)
• \(955\)
• \(965\)
• \(975\)
• \(985\)
• \(995\)

Таким образом, все числа, которые больше 900 и отвечают заданным условиям, это:

905, 915, 925, 935, 945, 955, 965, 975, 985, 995.