найдите наибольшее (наименьшее) значение функции y=x²-4x+5

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^2 - 4x + 5 \), можно воспользоваться методом выделения полного квадрата или формулой для нахождения вершин параболы. Давайте рассмотрим оба способа.

Метод выделения полного квадрата

1. Начнем с изменения функции в следующем виде:

   \[ y = x^2 - 4x + 5 \]

2. Выделим полный квадрат из первых двух членов:

   \[ y = (x^2 - 4x) + 5 \]

3. Чтобы выделить квадрат, добавим и вычтем \((\frac{4}{2})^2 = 4\):

   \[ y = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 \] \[ y = (x - 2)^2 + 1 \]

4. Теперь мы видим, что функция \( y = (x - 2)^2 + 1 \) достигает наименьшего значения, когда \((x - 2)^2\) равно нулю (это происходит, когда \(x = 2\)).

5. Подставим \(x = 2\) в функцию:

   \[ y = (2 - 2)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \]

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = 1\) и оно достигается при \(x = 2\).

Метод нахождения вершины параболы

Для параболы, заданной уравнением вида \(y = ax^2 + bx + c\), координата вершины (где достигается наименьшее или наибольшее значение) находится по формуле:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

где \(a = 1\) и \(b = -4\):

\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь подставим \(x = 2\) в исходное уравнение для нахождения наименьшего значения:

\[ y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \]

Заключение

Наименьшее значение функции \(y = x^2 - 4x + 5\) равно 1 и достигается при \(x = 2\). Парабола открыта вверх, что означает отсутствие наибольшего значения.