(x-5)(x-7)<0

Чтобы решить неравенство \( (x-5)(x-7)<0 \) пошагово, давайте подробно разберем каждый этап.

Шаг 1: Найдем корни неравенства

Сначала найдем значения \( x \), при которых произведение \( (x-5)(x-7) = 0 \). Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( x-5 = 0 \) → \( x = 5 \)
2. \( x-7 = 0 \) → \( x = 7 \)

Таким образом, корни неравенства: \( x = 5 \) и \( x = 7 \).

Шаг 2: Разделение числовой оси

Теперь определим промежутки на числовой оси, которые будут образованы этими корнями:

• Промежуток 1: \( (-\infty, 5) \)
• Промежуток 2: \( (5, 7) \)
• Промежуток 3: \( (7, +\infty) \)

Шаг 3: Знак произведения в каждом промежутке

Теперь проверим, в каком из промежутков сумма \( (x-5)(x-7) \) меньше нуля. Для этого подберем тестовые значения из каждого промежутка:

1. Для промежутка \( (-\infty, 5) \):

   • Пусть \( x = 0 \): \[ (0 - 5)(0 - 7) = (-5)(-7) = 35 > 0 \] Здесь знак положителен.

2. Для промежутка \( (5, 7) \):

   • Пусть \( x = 6 \): \[ (6 - 5)(6 - 7) = (1)(-1) = -1 < 0 \] Здесь знак отрицателен.

3. Для промежутка \( (7, +\infty) \):

   • Пусть \( x = 8 \): \[ (8 - 5)(8 - 7) = (3)(1) = 3 > 0 \] Здесь знак положителен.

Шаг 4: Запись решения

Мы искали такие \( x \), при которых \( (x - 5)(x - 7) < 0 \). Это произошло только в промежутке \( (5, 7) \).

Ответ

Таким образом, решение неравенства \( (x-5)(x-7)<0 \) будет:

\[ x \in (5, 7) \]

Это значит, что любые значения \( x \) между 5 и 7 (не включая сами 5 и 7) удовлетворяют данному неравенству.