(x-5)(x-7)<0

Чтобы решить неравенство \( (x-5)(x-7)<0 \) пошагово, давайте подробно разберем каждый этап. ### Шаг 1: Найдем корни неравенства Сначала найдем значения \( x \), при которых произведение \( (x-5)(x-7) = 0 \). Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. \( x-5 = 0 \) → \( x = 5 \) 2. \( x-7 = 0 \) → \( x = 7 \) Таким образом, корни неравенства: \( x = 5 \) и \( x = 7 \). ### Шаг 2: Разделение числовой оси Теперь определим промежутки на числовой оси, которые будут образованы этими корнями: - Промежуток 1: \( (-\infty, 5) \) - Промежуток 2: \( (5, 7) \) - Промежуток 3: \( (7, +\infty) \) ### Шаг 3: Знак произведения в каждом промежутке Теперь проверим, в каком из промежутков сумма \( (x-5)(x-7) \) меньше нуля. Для этого подберем тестовые значения из каждого промежутка: 1. **Для промежутка \( (-\infty, 5) \)**: - Пусть \( x = 0 \): \[ (0 - 5)(0 - 7) = (-5)(-7) = 35 > 0 \] Здесь знак положителен. 2. **Для промежутка \( (5, 7) \)**: - Пусть \( x = 6 \): \[ (6 - 5)(6 - 7) = (1)(-1) = -1 < 0 \] Здесь знак отрицателен. 3. **Для промежутка \( (7, +\infty) \)**: - Пусть \( x = 8 \): \[ (8 - 5)(8 - 7) = (3)(1) = 3 > 0 \] Здесь знак положителен. ### Шаг 4: Запись решения Мы искали такие \( x \), при которых \( (x - 5)(x - 7) < 0 \). Это произошло только в промежутке \( (5, 7) \). ### Ответ Таким образом, решение неравенства \( (x-5)(x-7)<0 \) будет: \[ x \in (5, 7) \] Это значит, что любые значения \( x \) между 5 и 7 (не включая сами 5 и 7) удовлетворяют данному неравенству.