А(-6;1), В(0;5), С(6;-4), Д(0;-8). Доказать, что четырёхугольник АВСД — параллелограмм

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно проверить, выполняются ли свойства параллелограмма. Одним из основных свойств является то, что в параллелограмме противоположные стороны равны или параллельны.

Давайте поочередно найдем координаты точек:

• A(-6; 1)
• B(0; 5)
• C(6; -4)
• D(0; -8)

Шаг 1: Нахождение координат векторов AB и CD.

Чтобы найти векторы, вычисляем координаты:

Вектор AB: \[ \vec{AB} = B - A = (0 - (-6), 5 - 1) = (6, 4) \]

Вектор CD: \[ \vec{CD} = D - C = (0 - 6, -8 - (-4)) = (-6, -4) \]

Шаг 2: Проверим равенство векторов AB и CD.

Для проверки равенства векторов нам нужно видеть, что векторы AB и CD имеют равные длины и направлены в одну сторону. Если их направляющие векторы одновременно равны по величине и направлению, то они равны по направлению против часов и получаем:

Вектор CD: \[ \vec{CD} = (-6, -4) \]

Теперь найдем длины этих векторов:

Длина вектора AB: \[ |AB| = \sqrt{(6^2 + 4^2)} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Длина вектора CD: \[ |CD| = \sqrt{(-6^2 + -4^2)} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Так как длины векторов AB и CD равны, и они направлены в противоположные стороны (определяется по их координатам), то мы пришли к выводу, что AB // CD.

Шаг 3: Нахождение векторов BC и AD.

Теперь найдём векторы BC и AD.

Вектор BC: \[ \vec{BC} = C - B = (6 - 0, -4 - 5) = (6, -9) \]

Вектор AD: \[ \vec{AD} = D - A = (0 - (-6), -8 - 1) = (6, -9) \]

Шаг 4: Проверка равенства векторов BC и AD.

Векторы BC и AD равны по координатам и значению.

Таким образом, осуществив все этапы, мы подтвердили, что оба пары противоположных сторон (AB и CD, BC и AD) равны и параллельны.

Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.