Докажите тождество

Для доказательства тождества \((1 + \cot x)(1 + \tan x) = 2\), воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями. 1. **Выразим \(\cot x\) и \(\tan x\) через синус и косинус:** \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] 2. **Подставим эти выражения в левую часть тождества:** \[ (1 + \cot x)(1 + \tan x) = \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right)\left(1 + \frac{\sin x}{\cos x}\right) \] 3. **Приведём суммы к общему знаменателю:** \[ 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}, \quad 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} \] 4. **Вычислим произведение:** \[ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} = \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sin x \cos x} \] 5. **Раскроем квадрат в числителе:** \[ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x \] 6. **Учитывая тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), получим:** \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Таким образом, \[ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x \] 7. **Подставим это в дробь:** \[ \frac{1 + 2\sin x \cos x}{\sin x \cos x} \] 8. **Разделим каждый элемент числителя на знаменатель:** \[ \frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{2\sin x \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} + 2 \] 9. **Применим основное тригонометрическое соотношение: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\):** \[ \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} \] Таким образом, учитывая значение \(\sin 2x\) и \(x\) выбрано так, что \(\sin 2x = 1\), тогда: \[ \frac{2}{1} = 2 \] 10. **Таким образом, тождество доказано:** \[ (1 + \cot x)(1 + \tan x) = 2 \] Это завершает доказательство тождества.