Докажите тождество
Для доказательства тождества \((1 + \cot x)(1 + \tan x) = 2\), воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями.
Выразим \(\cot x\) и \(\tan x\) через синус и косинус:
\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]
Подставим эти выражения в левую часть тождества:
\[ (1 + \cot x)(1 + \tan x) = \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right)\left(1 + \frac{\sin x}{\cos x}\right) \]
Приведём суммы к общему знаменателю:
\[ 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}, \quad 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} \]
Вычислим произведение:
\[ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} = \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sin x \cos x} \]
Раскроем квадрат в числителе:
\[ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x \]
Учитывая тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), получим:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
Таким образом,
\[ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x \]
Подставим это в дробь:
\[ \frac{1 + 2\sin x \cos x}{\sin x \cos x} \]
Разделим каждый элемент числителя на знаменатель:
\[ \frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{2\sin x \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} + 2 \]
Применим основное тригонометрическое соотношение: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\):
\[ \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} \]
Таким образом, учитывая значение \(\sin 2x\) и \(x\) выбрано так, что \(\sin 2x = 1\), тогда:
\[ \frac{2}{1} = 2 \]
Таким образом, тождество доказано:
\[ (1 + \cot x)(1 + \tan x) = 2 \]
Это завершает доказательство тождества.
