найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=1/х+2 на отрезке [2;4] с графиком

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = \frac{1}{x} + 2 \) на отрезке \([2; 4]\), выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдите значения функции на границах отрезка

Сначала вычислим значения функции в точках, которые представляют границы отрезка.

1. Найдем \( y \) при \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{1}{2} + 2 = 0.5 + 2 = 2.5 \]

2. Найдем \( y \) при \( x = 4 \): \[ y(4) = \frac{1}{4} + 2 = 0.25 + 2 = 2.25 \]

Шаг 2: Найдите производную функции

Теперь найдем производную функции, чтобы определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.

Функция \( y = \frac{1}{x} + 2 \) может быть измерена в виде производной следующим образом: \[ y' = -\frac{1}{x^2} \]

Производная \( y' = -\frac{1}{x^2} \) всегда отрицательна для \( x > 0 \), следовательно, функция убывающая на своем области определения. Это означает, что на отрезке \([2; 4]\) нет критических точек, где производная равна нулю.

Шаг 3: Определите наибольшее и наименьшее значения

Поскольку функция убывает на данном отрезке, наименьшее значение будет на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом:

• Наименьшее значение \( y(4) = 2.25 \).
• Наибольшее значение \( y(2) = 2.5 \).

Результат

Таким образом, на отрезке \([2; 4]\):

• Наименьшее значение функции: \( 2.25 \) при \( x = 4 \).
• Наибольшее значение функции: \( 2.5 \) при \( x = 2 \).

График функции

Чтобы лучше понять поведение функции, можно нарисовать ее график. График будет гиперболическим и будет стремиться к значению 2, но никогда его не достигнет. Он будет находиться над осью \( y=2 \) и будет убывать, чему соответствует найденный результат.

Если у вас остались вопросы или нужно объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!