X/2x+3=1/x

Давайте решим уравнение \( \frac{x}{2x + 3} = \frac{1}{x} \) шаг за шагом и объясним каждое действие. ### Шаг 1: Устранение дробей Чтобы избавиться от дробей, мы можем умножить обе стороны уравнения на \( x(2x + 3) \), чтобы получить уравнение без дробей. \[ x(2x + 3) \cdot \frac{x}{2x + 3} = x(2x + 3) \cdot \frac{1}{x} \] Это упростится до: \[ x^2 = 2x + 3 \] ### Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду Теперь мы организуем уравнение так, чтобы оно имело стандартный вид (все с одной стороны): \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] ### Шаг 3: Решение квадратного уравнения Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \). Подставляем значения в формулу: 1. Вычисляем дискриминант \( D \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] 2. Находим корни \( x \): \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Решение дает два значения: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] ### Шаг 4: Проверка корней Теперь важно проверить, не вызывает ли какой-либо из найденных корней недопустимые операции (например, деление на ноль). #### Проверка \( x = 3 \): \[ \frac{3}{2(3) + 3} = \frac{1}{3} \] Левая часть равна \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \), что соответствует правой части. #### Проверка \( x = -1 \): \[ \frac{-1}{2(-1) + 3} = \frac{1}{-1} \] Левая часть равна \( \frac{-1}{1} = -1 \), а правая часть равна \( -1 \). Обе проверки верны. ### Ответ Таким образом, у нас есть два решения уравнения: \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -1 \] Если у вас остались вопросы по каждому этапу, не стесняйтесь спрашивать!