x/2x+3=1/x

Давайте решим уравнение \( \frac{x}{2x + 3} = \frac{1}{x} \) шаг за шагом и объясним каждое действие.

Шаг 1: Устранение дробей

Чтобы избавиться от дробей, мы можем умножить обе стороны уравнения на \( x(2x + 3) \), чтобы получить уравнение без дробей.

\[ x(2x + 3) \cdot \frac{x}{2x + 3} = x(2x + 3) \cdot \frac{1}{x} \]

Это упростится до:

\[ x^2 = 2x + 3 \]

Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду

Теперь мы организуем уравнение так, чтобы оно имело стандартный вид (все с одной стороны):

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \).

Подставляем значения в формулу:

1. Вычисляем дискриминант \( D \):

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

2. Находим корни \( x \):

\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Решение дает два значения:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

Шаг 4: Проверка корней

Теперь важно проверить, не вызывает ли какой-либо из найденных корней недопустимые операции (например, деление на ноль).

Проверка \( x = 3 \):

\[ \frac{3}{2(3) + 3} = \frac{1}{3} \]

Левая часть равна \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \), что соответствует правой части.

Проверка \( x = -1 \):

\[ \frac{-1}{2(-1) + 3} = \frac{1}{-1} \]

Левая часть равна \( \frac{-1}{1} = -1 \), а правая часть равна \( -1 \).

Обе проверки верны.

Ответ

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -1 \]

Если у вас остались вопросы по каждому этапу, не стесняйтесь спрашивать!