реш
Давайте разберем задачу:
Уравнение:
\[ 2\cos^2\left(\frac{\pi x}{18}\right) + 5\sin\left(\frac{\pi x}{18}\right) = -1 \]
Для начала применим основное тригонометрическое тождество \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\):
Подставим его в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2\left(\frac{\pi x}{18}\right)) + 5\sin\left(\frac{\pi x}{18}\right) = -1 \]
Раскроем скобки: \[ 2 - 2\sin^2\left(\frac{\pi x}{18}\right) + 5\sin\left(\frac{\pi x}{18}\right) = -1 \]
Перенесем все на одну сторону: \[ -2\sin^2\left(\frac{\pi x}{18}\right) + 5\sin\left(\frac{\pi x}{18}\right) + 2 + 1 = 0 \]
Упростим: \[ -2\sin^2\left(\frac{\pi x}{18}\right) + 5\sin\left(\frac{\pi x}{18}\right) + 3 = 0 \]
Для удобства введем замену: \( u = \sin\left(\frac{\pi x}{18}\right) \). Тогда у нас получается квадратное уравнение: \[ -2u^2 + 5u + 3 = 0 \]
Решим его. Найдем дискриминант \( D \): \[ D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 25 + 24 = 49 \]
Найдем корни уравнения: \[ u_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-5 \pm 7}{-4} \]
Таким образом, получаем: \[ u_1 = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}, \quad u_2 = \frac{-12}{-4} = 3 \]
Так как \(\sin\left(\frac{\pi x}{18}\right)\) не может быть равен 3, мы рассматриваем только \(u_1 = -\frac{1}{2}\).
Теперь решаем: \[ \sin\left(\frac{\pi x}{18}\right) = -\frac{1}{2} \]
Значение \(-\frac{1}{2}\) для синуса достигается при углах: \[ \frac{\pi x}{18} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{\pi x}{18} = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
Где \(k\) — целое число.
Решим эти уравнения:
Для первого случая: \[ \frac{\pi x}{18} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = -3 + 36k \]
Для второго случая: \[ \frac{\pi x}{18} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = 21 + 36k \]
Таким образом, общий вид решения для \(x\): \[ x = -3 + 36k \quad \text{или} \quad x = 21 + 36k \] где \(k\) — целое число.
