Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, сначала вспомним формулу для площади трапеции:
[
S = \frac{(a + b)}{2} \times h
]
где (S) — площадь трапеции, (a) и (b) — длины оснований, а (h) — высота трапеции.
Дано:
- Длина одного основания (a = 10 , \text{см})
- Длина другого основания (b = 22 , \text{см})
- Угол между боковой стороной и одним из оснований равен (60^\circ)
Шаг 1: Найдем высоту трапеции
Поскольку один из углов является (60^\circ), мы можем использовать треугольник, который образуется высотой и боковой стороной. На основании расположения углов и тригонометрических функций, мы можем записать:
[
h = l \sin(\theta)
]
где (l) — длина боковой стороны, а (\theta) — угол между боковой стороной и основанием.
Для нахождения высоты нам нужно сначала вычислить длину боковой стороны (l). Известно, что расстояние между основаниями трапеции — это разница между основаниями:
[
d = b - a = 22 , \text{см} - 10 , \text{см} = 12 , \text{см}
]
Шаг 2: Применим теорему Пифагора
У нас есть прямоугольный треугольник, в котором:
- Один цвет (основание прямоугольного треугольника) равен (d = 12 , \text{см}),
- Другой цвет (высота) равен (h),
- Гипотенуза (боковая сторона) равна (l).
С учетом угла (60^\circ):
[
\cos(60^\circ) = \frac{a}{l}, \quad \text{где } a = \text{половина разности оснований} = \frac{12}{2} = 6.
]
Поэтому:
[
l = \frac{6}{\cos(60^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12 , \text{см}.
]
Теперь рассчитает высоту:
[
h = l \sin(60^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} , \text{см}.
]
Шаг 3: Найдем площадь трапеции
Теперь подставим найденные значения в формулу для площади:
[
S = \frac{(10 + 22)}{2} \times h = \frac{32}{2} \times 6\sqrt{3} = 16 \times 6\sqrt{3} = 96\sqrt{3} , \text{кв. см}.
]
Ответ
Площадь трапеции составляет (96\sqrt{3} \approx 166.28 , \text{кв. см}) (если округлить до двух знаков после запятой).
