Длины оснований прямоугольной трапеции равны 10 см и 22 см. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона образует с одним из оснований угол 60°.
Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, сначала вспомним формулу для площади трапеции:
\[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \]
где \(S\) — площадь трапеции, \(a\) и \(b\) — длины оснований, а \(h\) — высота трапеции.
Дано:
- Длина одного основания \(a = 10 \, \text{см}\)
- Длина другого основания \(b = 22 \, \text{см}\)
- Угол между боковой стороной и одним из оснований равен \(60^\circ\)
Шаг 1: Найдем высоту трапеции
Поскольку один из углов является \(60^\circ\), мы можем использовать треугольник, который образуется высотой и боковой стороной. На основании расположения углов и тригонометрических функций, мы можем записать:
\[ h = l \sin(\theta) \]
где \(l\) — длина боковой стороны, а \(\theta\) — угол между боковой стороной и основанием.
Для нахождения высоты нам нужно сначала вычислить длину боковой стороны \(l\). Известно, что расстояние между основаниями трапеции — это разница между основаниями:
\[ d = b - a = 22 \, \text{см} - 10 \, \text{см} = 12 \, \text{см} \]
Шаг 2: Применим теорему Пифагора
У нас есть прямоугольный треугольник, в котором:
- Один цвет (основание прямоугольного треугольника) равен \(d = 12 \, \text{см}\),
- Другой цвет (высота) равен \(h\),
- Гипотенуза (боковая сторона) равна \(l\).
С учетом угла \(60^\circ\):
\[ \cos(60^\circ) = \frac{a}{l}, \quad \text{где } a = \text{половина разности оснований} = \frac{12}{2} = 6. \]
Поэтому:
\[ l = \frac{6}{\cos(60^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12 \, \text{см}. \]
Теперь рассчитает высоту:
\[ h = l \sin(60^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{см}. \]
Шаг 3: Найдем площадь трапеции
Теперь подставим найденные значения в формулу для площади:
\[ S = \frac{(10 + 22)}{2} \times h = \frac{32}{2} \times 6\sqrt{3} = 16 \times 6\sqrt{3} = 96\sqrt{3} \, \text{кв. см}. \]
Ответ
Площадь трапеции составляет \(96\sqrt{3} \approx 166.28 \, \text{кв. см}\) (если округлить до двух знаков после запятой).
