Чтобы построить график функции ( Y = \frac{(x + 1)(x^2 + 7x + 12)}{x + 3} ), а затем определить значения ( m ), при которых прямая ( Y = m ) имеет с графиком ровно одну общую точку, мы сначала упростим выражение.
Упрощение функции
- Упростим числитель:
[
x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
]
- Подставим это в исходное выражение:
[
Y = \frac{(x + 1)((x + 3)(x + 4))}{x + 3}
]
Для ( x \neq -3 ) (чтобы избежать деления на ноль):
[
Y = (x + 1)(x + 4) = x^2 + 5x + 4
]
Функция ( Y ) имеет разрыв в точке ( x = -3 ).
График функции
Теперь необходимо построить график ( Y = x^2 + 5x + 4 ), что является параболой, открывающейся вверх, с вершиной и разрывом:
- Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2} = -2.5 ).
- Значение функции в этой точке:
[
Y(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25
]
Найдем значение ( m )
Парабола ( Y = x^2 + 5x + 4 ) пересекается с прямой ( Y = m ) при решении уравнения:
[
x^2 + 5x + (4 - m) = 0
]
Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был равен нулю:
[
D = b^2 - 4ac = 25 - 4(1)(4 - m) = 25 - 16 + 4m = 9 + 4m
]
Приравниваем дискриминант к нулю:
[
9 + 4m = 0
]
[
4m = -9
]
[
m = -\frac{9}{4} = -2.25
]
Ответ
Прямая ( Y = m ) имеет с графиком функции ровно одну общую точку при ( m = -2.25 ).
Если у вас есть дополнительные вопросы по данной функции или другим темам, пожалуйста, дайте знать!
