Y = (x+ 1) (x*x+7x +12)/x+3 Постройте график функции И определите, при каких значениях т прямая У =m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Чтобы построить график функции \( Y = \frac{(x + 1)(x^2 + 7x + 12)}{x + 3} \), а затем определить значения \( m \), при которых прямая \( Y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку, мы сначала упростим выражение.
Упрощение функции
- Упростим числитель:
\[ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) \]
- Подставим это в исходное выражение:
\[ Y = \frac{(x + 1)((x + 3)(x + 4))}{x + 3} \]
Для \( x \neq -3 \) (чтобы избежать деления на ноль):
\[ Y = (x + 1)(x + 4) = x^2 + 5x + 4 \]
Функция \( Y \) имеет разрыв в точке \( x = -3 \).
График функции
Теперь необходимо построить график \( Y = x^2 + 5x + 4 \), что является параболой, открывающейся вверх, с вершиной и разрывом:
- Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2} = -2.5 \).
- Значение функции в этой точке:
\[ Y(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25 \]
Найдем значение \( m \)
Парабола \( Y = x^2 + 5x + 4 \) пересекается с прямой \( Y = m \) при решении уравнения:
\[ x^2 + 5x + (4 - m) = 0 \]
Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был равен нулю:
\[ D = b^2 - 4ac = 25 - 4(1)(4 - m) = 25 - 16 + 4m = 9 + 4m \]
Приравниваем дискриминант к нулю:
\[ 9 + 4m = 0 \] \[ 4m = -9 \] \[ m = -\frac{9}{4} = -2.25 \]
Ответ
Прямая \( Y = m \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку при \( m = -2.25 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы по данной функции или другим темам, пожалуйста, дайте знать!
