В прямоугольном треугольнике с острым углом 60 градусов и прилежащим к нему катетом,равным 10 см, вычислите высоту, опущенную из вершины прямого угла
Для решения этой задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника.
Определим элементы треугольника:
- У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов (это угол прямого треугла).
- Угол A равен 60 градусов.
- Соответственно, угол B будет равен \(90 - 60 = 30\) градусов.
- Катет AC (прилежащий к углу A) равен 10 см.
Найдём другие элементы треугольника: В прямоугольном треугольнике можно использовать тригонометрические функции для нахождения катета BC (противолежащего углу A): \[ \sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \]
Также мы знаем, что: \[ \cos(A) = \frac{AC}{AB} \]
Но сначала нам нужно выяснить длину гипотенузы AB. Для этого воспользоваться косинусом: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Так как \(AC = 10\): \[ \frac{10}{AB} = \frac{1}{2} \implies AB = 20 \text{ см} \]
Теперь найдём длину BC: Выполним аналогично с синусом: \[ \sin(60^\circ) = \frac{BC}{20} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{20} \implies BC = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ см} \]
Теперь найдём высоту h, опущенную из вершины C на гипотенузу AB: Высота в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле: \[ h = \frac{AB \cdot BC}{2} \] В нашем случае: \[ h = \frac{20 \cdot 10\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}/2 = 50\sqrt{3} \text{ см} \]
Таким образом, высота, опущенная из вершины прямого угла, равна \(50\sqrt{3} \approx 86.6 \text{ см}\).
