1) Является ли число 4 корнем квадратного трехчлена? 3x ^ 2 - x - 4 Да Нет 2) Найдите корни квадратного трехчлена - 8x ^ 2 - 6x - 1 x_{1} = x_{2} = 3) Является ли число -3 корнем…

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1: Является ли число 4 корнем квадратного трехчлена \( 3x^2 - x - 4 \)?

Чтобы проверить, является ли число \( 4 \) корнем уравнения, нужно подставить его в уравнение и проверить, равен ли результат \( 0 \):

\[ 3(4)^2 - (4) - 4 = 3 \cdot 16 - 4 - 4 = 48 - 4 - 4 = 40 \]

Так как результат не равен \( 0 \), число \( 4 \) не является корнем данного трехчлена.

Ответ: Нет.

---

Задача 2: Найдите корни квадратного трехчлена \( -8x^2 - 6x - 1 \).

Используем формулу для корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

где \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае:

• \( a = -8 \)
• \( b = -6 \)
• \( c = -1 \)

Сначала находим дискриминант \( D \):

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot (-8) \cdot (-1) = 36 - 32 = 4 \]

Теперь используем формулу для нахождения корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot (-8)} = \frac{6 \pm 2}{-16} \]

Находим два корня:

1. \( x_1 = \frac{6 + 2}{-16} = \frac{8}{-16} = -\frac{1}{2} \)
2. \( x_2 = \frac{6 - 2}{-16} = \frac{4}{-16} = -\frac{1}{4} \)

Ответ: \( x_1 = -\frac{1}{2} \), \( x_2 = -\frac{1}{4} \).

---

Задача 3: Является ли число -3 корнем квадратного трехчлена \( 2x^2 + 9x + 9 \)?

Подставим \( -3 \) в уравнение:

\[ 2(-3)^2 + 9(-3) + 9 = 2 \cdot 9 - 27 + 9 = 18 - 27 + 9 = 0 \]

Так как результат равен \( 0 \), число \( -3 \) является корнем данного трехчлена.

Ответ: Да.

---

Задача 4: Найдите корни квадратного трехчлена \( x^2 - 12x + 20 \).

Сначала найдем дискриминант \( D \):

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 \]

Теперь используем формулу для нахождения корней:

\[ x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2} \]

Находим два корня:

1. \( x_1 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
2. \( x_2 = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Ответ: \( x_1 = 10 \), \( x_2 = 2 \).

---

Задача 5: Имеет ли квадратный трехчлен действительные корни \( x^2 - x + 9 \)?

Находим дискриминант \( D \):

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35 \]

Поскольку дискриминант отрицательный ( \( D < 0 \) ), у уравнения нет действительных корней.

Ответ: Нет.

---

Задача 6: Сколько различных корней имеет квадратный трехчлен \( -4x^2 + 20x - 25 \)?

Находим дискриминант \( D \):

\[ D = (20)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-25) = 400 - 400 = 0 \]

Если дискриминант равен \( 0 \), то у квадратного уравнения есть один (двойной) корень.

Ответ: 1 (один корень).