Давайте разберем каждую задачу по порядку.
Задача 1: Является ли число 4 корнем квадратного трехчлена ( 3x^2 - x - 4 )?
Чтобы проверить, является ли число ( 4 ) корнем уравнения, нужно подставить его в уравнение и проверить, равен ли результат ( 0 ):
[
3(4)^2 - (4) - 4 = 3 \cdot 16 - 4 - 4 = 48 - 4 - 4 = 40
]
Так как результат не равен ( 0 ), число ( 4 ) не является корнем данного трехчлена.
Ответ: Нет.
Задача 2: Найдите корни квадратного трехчлена ( -8x^2 - 6x - 1 ).
Используем формулу для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
где ( D = b^2 - 4ac ).
В нашем случае:
- ( a = -8 )
- ( b = -6 )
- ( c = -1 )
Сначала находим дискриминант ( D ):
[
D = (-6)^2 - 4 \cdot (-8) \cdot (-1) = 36 - 32 = 4
]
Теперь используем формулу для нахождения корней:
[
x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot (-8)} = \frac{6 \pm 2}{-16}
]
Находим два корня:
- ( x_1 = \frac{6 + 2}{-16} = \frac{8}{-16} = -\frac{1}{2} )
- ( x_2 = \frac{6 - 2}{-16} = \frac{4}{-16} = -\frac{1}{4} )
Ответ:
( x_1 = -\frac{1}{2} ),
( x_2 = -\frac{1}{4} ).
Задача 3: Является ли число -3 корнем квадратного трехчлена ( 2x^2 + 9x + 9 )?
Подставим ( -3 ) в уравнение:
[
2(-3)^2 + 9(-3) + 9 = 2 \cdot 9 - 27 + 9 = 18 - 27 + 9 = 0
]
Так как результат равен ( 0 ), число ( -3 ) является корнем данного трехчлена.
Ответ: Да.
Задача 4: Найдите корни квадратного трехчлена ( x^2 - 12x + 20 ).
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64
]
Теперь используем формулу для нахождения корней:
[
x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2}
]
Находим два корня:
- ( x_1 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 )
- ( x_2 = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
Ответ:
( x_1 = 10 ),
( x_2 = 2 ).
Задача 5: Имеет ли квадратный трехчлен действительные корни ( x^2 - x + 9 )?
Находим дискриминант ( D ):
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35
]
Поскольку дискриминант отрицательный ( ( D < 0 ) ), у уравнения нет действительных корней.
Ответ: Нет.
Задача 6: Сколько различных корней имеет квадратный трехчлен ( -4x^2 + 20x - 25 )?
Находим дискриминант ( D ):
[
D = (20)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-25) = 400 - 400 = 0
]
Если дискриминант равен ( 0 ), то у квадратного уравнения есть один (двойной) корень.
Ответ: 1 (один корень).
