Погостив у бабушки, лицеист Петя отправился домой через дремучий лес со своей собакой Пуговкой. Петя всё время шёл с постоянной скоростью 80 м/мин. Пуговка сперва шла рядом, а затем, учуяв опасность на самой тёмной полянке леса, в 15:45 побежала вперёд, увеличив при этом свою скорость в 2 раза. Добежав до полянки и мгновенно всё проверив, она вернулась обратно к Пете в 16:05. Дальше они снова шли вместе. В какое время на самой тёмной полянке была Пуговка?

Чтобы решить эту задачу, давайте по шагам разобьем информацию, которую мы имеем, и сделаем необходимые расчеты. 1. **Исходная информация:** - Петя идет со скоростью 80 м/мин. - Пуговка вначале шла рядом с Петей, затем увеличила свою скорость в 2 раза (то есть до 160 м/мин) и побежала вперёд. - Время, когда Пуговка побежала вперёд: 15:45. - Время, когда Пуговка вернулась к Пете: 16:05. 2. **Разница во времени:** - Пуговка побежала (15:45) и вернулась (16:05). - Разница во времени = 16:05 - 15:45 = 20 минут. 3. **Пуговка бежит вперёд:** - Пуговка бежала 10 минут вперёд (за это время она успела добежать до полянки и вернуться). - Пуговка бежала туда и обратно 20 минут, значит, она 10 минут бежала до полянки. 4. **Расчет расстояния:** - Пуговка бежит со скоростью 160 м/мин. - Расстояние, которое она прошла до полянки: \[ \text{Расстояние} = \text{Скорость} \times \text{Время} = 160 \, \text{м/мин} \times 10 \, \text{мин} = 1600 \, \text{м}. \] 5. **Минуты, когда Пуговка была на полянке:** - Так как Пуговка достигла полянки за 10 минут, и она стартовала в 15:45, то: \[ 15:45 + 10 \text{ минут} = 15:55. \] - Следовательно, Пуговка была на самой тёмной полянке в 15:55. **Ответ:** Пуговка была на самой тёмной полянке в 15:55.