Для решения этой задачи давай сначала рассмотрим, что такое вероятность и как она работает в данном случае.
Шаг 1: Определение вероятности выпадения нечётного числа
На игральном кубике есть 6 граней, которые обозначают числа от 1 до 6. Из них нечётные числа — это 1, 3 и 5 (всего 3 числа), а чётные числа — это 2, 4 и 6 (также 3 числа).
Таким образом, вероятность выпадения нечётного числа при одном подбрасывании кубика равна:
[
P(\text{нечётное}) = \frac{\text{количество нечётных чисел}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Вероятность выпадения чётного числа (не выпадения нечётного числа) также составляет:
[
P(\text{чётное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Модель геометрического распределения
Поскольку мы хотим узнать вероятность того, что для выпадения нечётного числа понадобится не более 4 подбрасываний, то это соответствует геометрическому распределению.
Вероятность того, что первое нечётное число выпадает на (k)-ом подбрасывании, можно выразить как:
[
P(X = k) = P(\text{чётное})^{k-1} \cdot P(\text{нечётное}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k}
]
Шаг 3: Суммирование вероятностей
Теперь соберём вероятности того, что нечётное число выпадет на 1, 2, 3 или 4 подбрасывании:
[
P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
]
Подставим наши выражения:
[
P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{4}
]
[
P(X \leq 4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}
]
Шаг 4: Приведение к общему знаменателю и решение
Приведём к общему знаменателю (16):
[
P(X \leq 4) = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{16} = \frac{15}{16}
]
Ответ
Итак, вероятность того, что для того чтобы получить нечётное число, понадобится не более четырёх подбрасываний, составляет:
[
\boxed{\frac{15}{16}}
]
