игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет нечётное число. Какова вероятность, что для этого понадобится не более четырех подбрасывание?

Для решения этой задачи давай сначала рассмотрим, что такое вероятность и как она работает в данном случае.

Шаг 1: Определение вероятности выпадения нечётного числа

На игральном кубике есть 6 граней, которые обозначают числа от 1 до 6. Из них нечётные числа — это 1, 3 и 5 (всего 3 числа), а чётные числа — это 2, 4 и 6 (также 3 числа).

Таким образом, вероятность выпадения нечётного числа при одном подбрасывании кубика равна:

\[ P(\text{нечётное}) = \frac{\text{количество нечётных чисел}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Вероятность выпадения чётного числа (не выпадения нечётного числа) также составляет:

\[ P(\text{чётное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Шаг 2: Модель геометрического распределения

Поскольку мы хотим узнать вероятность того, что для выпадения нечётного числа понадобится не более 4 подбрасываний, то это соответствует геометрическому распределению.

Вероятность того, что первое нечётное число выпадает на \(k\)-ом подбрасывании, можно выразить как:

\[ P(X = k) = P(\text{чётное})^{k-1} \cdot P(\text{нечётное}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \]

Шаг 3: Суммирование вероятностей

Теперь соберём вероятности того, что нечётное число выпадет на 1, 2, 3 или 4 подбрасывании:

\[ P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \]

Подставим наши выражения:

\[ P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{4} \]

\[ P(X \leq 4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \]

Шаг 4: Приведение к общему знаменателю и решение

Приведём к общему знаменателю (16):

\[ P(X \leq 4) = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{16} = \frac{15}{16} \]

Ответ

Итак, вероятность того, что для того чтобы получить нечётное число, понадобится не более четырёх подбрасываний, составляет:

\[ \boxed{\frac{15}{16}} \]