При каком значении � x значения выражений � 2 − 3 , x 2 −3, 8 − 3 � 8−3x и 7 − 7 � 7−7x будут являться последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти три члена…
При каком значении � x значения выражений � 2 − 3 , x 2 −3, 8 − 3 � 8−3x и 7 − 7 � 7−7x будут являться последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти три члена прогрессии. При � = x= 4 получаются последовательные члены 13 , , − 4 , , − 21 . . При � = x= − 3 получаются последовательные члены 6 , , 17 , , 28 . .
Чтобы решить задачу, нам нужно выяснить, при каких значениях \( x \) выражения \( x^2 - 3 \), \( 8 - 3x \) и \( 7 - 7x \) будут являться последовательными членами арифметической прогрессии (AP).
Напоминаем, что три числа \( a \), \( b \) и \( c \) являются последовательными членами арифметической прогрессии, если выполняется условие:
\[ 2b = a + c \]
Где:
- \( a = x^2 - 3 \)
- \( b = 8 - 3x \)
- \( c = 7 - 7x \)
Подставим наши выражения в формулу для арифметической прогрессии:
\[ 2(8 - 3x) = (x^2 - 3) + (7 - 7x) \]
Теперь упростим и решим уравнение:
Сначала извлечем строну с \( b \):
\[ 16 - 6x = x^2 - 3 + 7 - 7x \] \[ 16 - 6x = x^2 + 4 - 7x \]
Переносим все член на одну сторону уравнения:
\[ 0 = x^2 - 7x + 4 + 6x - 16 \] \[ 0 = x^2 - x - 12 \]
Это квадратное уравнение. Его можно решить различными способами. Используем метод разложения:
Нам нужно найти такие два числа, которые в произведении дают \(-12\), а в сумме \( -1\). Такие числа: \( -4 \) и \( 3 \).
Таким образом, факторизуем:
\[ 0 = (x - 4)(x + 3) \]
Теперь находим корни:
- \( x - 4 = 0 \) ⇒ \( x = 4 \)
- \( x + 3 = 0 \) ⇒ \( x = -3 \)
Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в наши выражения, чтобы найти соответствующие члены прогрессии:
При \( x = 4 \):
- \( a = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13 \)
- \( b = 8 - 3 \cdot 4 = 8 - 12 = -4 \)
- \( c = 7 - 7 \cdot 4 = 7 - 28 = -21 \)
Члены: \( 13, -4, -21 \)
При \( x = -3 \):
- \( a = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \)
- \( b = 8 - 3 \cdot (-3) = 8 + 9 = 17 \)
- \( c = 7 - 7 \cdot (-3) = 7 + 21 = 28 \)
Члены: \( 6, 17, 28 \)
Проверка на арифметическую прогрессию:
Для \( x = 4 \):
- \( 2(-4) = 13 + (-21) \)
- \( -8 = -8 \) (да, это AP)
Для \( x = -3 \):
- \( 2(17) = 6 + 28 \)
- \( 34 = 34 \) (да, это AP)
Ответ:
При \( x = 4 \) члены: \( 13, -4, -21 \).
При \( x = -3 \) члены: \( 6, 17, 28 \).
Значения \( x \), при которых выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, равны \( x = 4 \) и \( x = -3 \).
