Чтобы решить задачу, нам нужно выяснить, при каких значениях ( x ) выражения ( x^2 - 3 ), ( 8 - 3x ) и ( 7 - 7x ) будут являться последовательными членами арифметической прогрессии (AP).
Напоминаем, что три числа ( a ), ( b ) и ( c ) являются последовательными членами арифметической прогрессии, если выполняется условие:
[
2b = a + c
]
Где:
- ( a = x^2 - 3 )
- ( b = 8 - 3x )
- ( c = 7 - 7x )
Подставим наши выражения в формулу для арифметической прогрессии:
[
2(8 - 3x) = (x^2 - 3) + (7 - 7x)
]
Теперь упростим и решим уравнение:
Сначала извлечем строну с ( b ):
[
16 - 6x = x^2 - 3 + 7 - 7x
]
[
16 - 6x = x^2 + 4 - 7x
]
Переносим все член на одну сторону уравнения:
[
0 = x^2 - 7x + 4 + 6x - 16
]
[
0 = x^2 - x - 12
]
Это квадратное уравнение. Его можно решить различными способами. Используем метод разложения:
Нам нужно найти такие два числа, которые в произведении дают (-12), а в сумме ( -1). Такие числа: ( -4 ) и ( 3 ).
Таким образом, факторизуем:
[
0 = (x - 4)(x + 3)
]
Теперь находим корни:
- ( x - 4 = 0 ) ⇒ ( x = 4 )
- ( x + 3 = 0 ) ⇒ ( x = -3 )
Теперь подставим найденные значения ( x ) обратно в наши выражения, чтобы найти соответствующие члены прогрессии:
При ( x = 4 ):
- ( a = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13 )
- ( b = 8 - 3 \cdot 4 = 8 - 12 = -4 )
- ( c = 7 - 7 \cdot 4 = 7 - 28 = -21 )
Члены: ( 13, -4, -21 )
При ( x = -3 ):
- ( a = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 )
- ( b = 8 - 3 \cdot (-3) = 8 + 9 = 17 )
- ( c = 7 - 7 \cdot (-3) = 7 + 21 = 28 )
Члены: ( 6, 17, 28 )
Проверка на арифметическую прогрессию:
Для ( x = 4 ):
- ( 2(-4) = 13 + (-21) )
- ( -8 = -8 ) (да, это AP)
Для ( x = -3 ):
- ( 2(17) = 6 + 28 )
- ( 34 = 34 ) (да, это AP)
Ответ:
При ( x = 4 ) члены: ( 13, -4, -21 ).
При ( x = -3 ) члены: ( 6, 17, 28 ).
Значения ( x ), при которых выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, равны ( x = 4 ) и ( x = -3 ).
