В треугольнике АВС угол C равен 90°, катет ВС = 1,5 см, а катет АС больше другого катета на 0, 5 см. Из угла С проведена высота СН. Найди СН.
Для решения этой задачи мы будем использовать несколько шагов и некоторые свойства прямоугольного треугольника.
Шаг 1: Определение сторон треугольника
Дано:
- Угол C = 90° (угол прямой).
- Катет BC = 1,5 см.
- Катет AC = AB + 0,5 см (где AB – другой катет).
Обозначим катет AB как \( x \). Тогда катет AC будет равен \( x + 0,5 \) см.
Шаг 2: Применение теоремы Пифагора
В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора, которая гласит:
\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]
Подставим известные значения:
\[ x^2 + (1,5)^2 = (x + 0,5)^2 \]
Теперь упростим это уравнение:
- \( (1,5)^2 = 2,25 \).
- Разложим квадрат \( (x + 0,5)^2 \):
\[ (x + 0,5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + (0,5)^2 = x^2 + x + 0,25 \]
Теперь подставим всё обратно в уравнение:
\[ x^2 + 2,25 = x^2 + x + 0,25 \]
Шаг 3: Упрощение уравнения
Вырежем \( x^2 \) с обеих сторон:
\[ 2,25 = x + 0,25 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ x = 2,25 - 0,25 = 2 \]
Шаг 4: Нахождение длины катетов
Теперь как мы нашли \( x = 2 \), можем найти длины катетов:
- \( AB = x = 2 \) см.
- \( AC = x + 0,5 = 2 + 0,5 = 2,5 \) см.
Шаг 5: Нахождение высоты CH
Высота прямоугольного треугольника проведенная из прямого угла, делит его на два меньших треугольника. Высота может быть найдена по формуле:
\[ CH = \frac{AB \cdot BC}{AC} \]
Подставим значения:
\[ CH = \frac{2 \cdot 1,5}{2,5} \]
Упростим:
\[ CH = \frac{3}{2,5} = 1,2 \text{ см}. \]
Итог
Высота \( CH \) равна \( 1,2 \) см.
